Geometria 12 luglio 2000

Domande.

1. Siano $A$ e $B$ due matrici $n \times n$ a coefficienti reali. Il determinante della matrice prodotto
   $$A \cdot B$$
   è uguale a

   $$\boxtimes \; \dete(A)\cdot \dete(B)\qquad \square \; \dete(A)+ \dete(B)$$

   $$\square\; \textrm{non si pu\\lq o calcolare solo in funzione di $\dete(A)$\ e $\dete(B)$}$$

   
   

2. Siano $A$ e $B$ due matrici $n \times n$ a coefficienti reali. Il determinante della matrice somma
   $$A + B$$
   è uguale a

   $$\square \; \dete(A)+ \dete(B) \qquad \square \; \dete(A)\cdot \dete(B)$$

   $$\boxtimes \; \textrm{non si pu\\lq o calcolare solo in funzione di $\dete(A)$\ e $\dete(B)$}$$

   
   

3. Siano $\mathcal{B}=\{ v_1,v_2,v_3\}$ una base di $R^3$. L'insieme:
   $$\mathcal{E}=\{ 2v_1+5v_2+4v_3, 3v_1-v_2+v_3,v_1+2v_2+v_3 \}$$

   $$\boxtimes \; \textrm{\\lq e una base di $R^3$}$$

   $$\square \; \textrm{\\lq e linearmente indipendente ma non genera $R^3$}$$

   $$\square \;\textrm{non \\lq e linearmente indipendente}$$

   
   

4. Sia $f:V \rightarrow W$ una applicazione lineare e iniettiva. Siano $v_1, v_2, \ldots v_n$ in $V$ vettori linearmente indipendenti. I vettori:
   $$f(v_1), f(v_2) , \ldots f(v_n)$$
   sono

   $$\boxtimes \; \textrm{linearmente indipendenti} \qquad \square \; \textrm{linearmente dipendenti}$$

   $$\square \;\textrm{possono verificarsi entrambi i casi}$$

   
   

5. Siano $f, g: R^n \rightarrow R^m$ applicazioni lineari e sia $m<n$. Esistono vettori non nulli sui quali $f$ e $g$ coincidono?

   $$\boxtimes \; \textrm{esistono} \qquad \square \; \textrm{non esistono}$$

   $$\square \;\textrm{possono verificarsi entrambi i casi}$$

   
   

6. Sia $f:R^2 \rightarrow R^2$ una applicazione lineare di matrice
   $$A= \left( \begin{matrix} 1& b\\ 0& -1 \end{matrix}\right)$$
   Risulta:
   $$\boxtimes \; f \circ f=id_{R^2}\qquad \square \; f \circ f=0 \qquad \square \; f \circ f=f$$

7. Sia $V$ uno spazio vettoriale e $f$ l'endomorfismo di $V$ definito da
   $$f(v)=kv \qquad k \in R.$$
   L'endomorfismo $f$ è diagonalizzabile
   $$\boxtimes \; \textrm{per ogni valore di $k$}\qquad \square \; k \neq 0 \qquad \square \; k \neq 0,1$$

8. Sia $f$ un endomorfismo di uno spazio vettoriale e siano $v_1$ e $v_2$ due autovettori relativi ad autovalori distinti. Il vettore
   $$v_1+v_2$$

   $$\boxtimes \; \textrm{non \\lq e un autovettore di $f$}\qquad \square \; \textrm{ \\lq e un autovettore di $f$}$$

   $$\square \; \dim \left( \sppan \{v_1,v_2 \} \right)=1$$

   
   

9. Siano $r$ e $t$ due rette incidenti e sia $s$ una retta incidente $t$. Le rette $r$ ed $s$ sono
   $$\square \; \textrm{complanari} \qquad \square \; \textrm{sgembe}\qquad \boxtimes \; \textrm{possono verificarsi entrambi i casi}$$

10. Siano $\pi$ un piano e $r$ una retta ortogonale a $\pi$. Sia $\mathcal{G}$ il fascio di piani per $r$. Esistono piani di $\mathcal{G}$ paralleli a $\pi$?
    $$\boxtimes \; \textrm{nessuno}\qquad \square \; \textrm{uno} \qquad \square \; \textrm{infiniti}$$

Esercizi.

1) Discutere e trovare le soluzioni del seguente sistema :

$$\begin{cases} -3y +2z+3w = -1 \\ kx+3y -z+3w = 1 \\ 2y +z+kw = 2\\ -y +3z+4w = 1 \end{cases}$$

al variare del parametro reale $k$.

2) Sia $A$ la matrice

$$\left( \begin{matrix} 4&-8&2\\ 1&-8&4\\ 2&-14&7 \end{matrix} \right ).$$

1. Determinare autovalori e autospazi di $A$.
2. Se possibile determinare una base di autovettori di $A$.

3) Sia $\pi$ il piano di equazione

$$\pi\;:\; x+2y+z-4=0$$

e sia $\pi'$ il piano per l'origine $O = (0,0,0)$ e ortogonale alla retta $s$ di equazioni

$$s\;:\; \begin{cases} x+2y-z-3=0\\ 2x-y+1=0 \end{cases}$$

Dette $r$ la retta di intersezione tra $\pi$ e $\pi'$ ed $l$ la retta di equazioni parametriche

$$l\;:\; \begin{cases} x=2+2t\\ y=1-t\\ z=3+t \end{cases}$$

si studi la posizione reciproca di $r$ e $l$.

4) Sia $f:\; R^4 \rightarrow R^4$ l'applicazione lineare definita da

$$f(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_2+2x_3+3x_4,x_1+x_3+2x_4,2x_1+x_2+x_4,3x_1+2x_2+x_3).$$

Scrivere la matrice di $f$ rispetto alla base canonica di $R^4$. Provare che l'applicazione $f$ è invertibile e trovare la controimmagine di $(18,10,2,0).$

Soluzione

Esercizio 1.
La matrice completa associata al sistema è la matrice

$$\left( \begin{matrix} k&3&-1&3&1\\ 0&-1&3&4&1\\ 0&-3&2&3&-1\\ 0&2&1&k&2 \end{matrix}\right).$$

Riducendola a gradino si ottiene :

$$\left( \begin{matrix}k&3&-1&3&1\\ 0&-1&3&4&1\\ 0&-3&2&3&-1\\ 0&2&... ...atrix}k&3&-1&3&1\\ 0&-1&3&4&1\\ 0&0&-7&-9&-4\\ 0&0&7&k+8&4 \end{matrix} \right)$$

$$\left( \begin{matrix}k&3&-1&3&1\\ 0&-1&3&4&1\\ 0&0&-7&-9&-4\\ 0&0&0&k-1&0 \end{matrix} \right).$$

Per $k \neq 0,1$ le matrici completa e incompleta associate al sistema hanno entrambe rango $4$ sicchè il sistema ha una unica soluzione:

$$x=- \frac{4}{7k}, \quad y= \frac{5}{7}, \quad z= \frac{4}{7}, \quad w=0.$$

Per $k=1$ la matrice completa associata al sistema diventa:

$$\left( \begin{matrix} 1&3&-1&3&1\\ 0&-1&3&4&1\\ 0&0&-7&-9&-4\\ 0&0&0&0&0 \end{matrix}\right).$$

Le matrici completa e incompleta associate al sistema hanno entrambe rango $3$ dunque il sistema ammette infinite soluzioni:

$$\begin{cases} x&= - \frac{33}{7}t- \frac{4}{7}\\ y&=\frac{... ...\frac{9}{7}t+ \frac{4}{7}\\ w&=t, \qquad t \in R. \end{cases}$$

Infine per $k=0$ la matrice completa diventa

$$\left( \begin{matrix} 0&3&-1&3&1\\ 0&-1&3&4&1\\ 0&0&-7&-9&-4\\ 0&0&0&-1&0 \end{matrix}\right).$$

Riducendola ulteriormente si trova:

$$\left( \begin{matrix}0&3&-1&3&1\\ 0&-1&3&4&1\\ 0&0&-7&-9&-4\\ 0&0... ...3&-1&3&1\\ 0&0&8&15&4\\ 0&0&-7&-9&-4\\ 0&0&0&-1&0 \end{matrix} \right) \leadsto$$

$$\left( \begin{matrix}0&3&-1&3&1\\ 0&0&8&15&4\\ 0&0&0&11&20\\ 0&0&... ...{matrix}0&3&-1&3&1\\ 0&0&8&15&4\\ 0&0&0&11&20\\ 0&0&0&0&1 \end{matrix} \right).$$

L'ultima riga della matrice corrisponde all'equazione (manifestamente falsa)

$$0=1$$

da cui segue che per $k=0$ il sistema non ha soluzioni.

Esercizio 2.

Il polinomio caratteristico della matrice $A$ è:

$$p(x)=-(x+1)(x-2)^2.$$

Gli autovalori di $A$ sono $x_1=-1$ con molteplicità algebrica $1$ e $x_2=2$ con molteplicità algebrica $2$.

L'autospazio relativo all'autovalore $-2$ è

$$V_2 =\kker(A-2I)=\{(x,y,z) \in R^3\;:\;x-10y+4z=0 \quad \textrm{e} \quad 6y-3z=0 \}$$

$$=\{(2t,t,2t) \;:\; t \in R\}$$

$$=\sppan\{(2,1,2)\}.$$

L'autospazio relativo all'autovalore $-1$ è

$$V_{-1} =\kker(A+I)=\{(x,y,z) \in R^3\;:\;x-7y+4z=0 \quad \textrm{e} \quad 3y-2z=0 \}$$

$$=\{(2t,2t,3t) \;:\; t \in R\}$$

$$=\sppan\{(2,2,3)\}.$$

La matrice $A$ non è diagonalizzabile perchè

$$\dimm(V_{-1})+\dimm(V_2)=2 \neq \dimm(R^3),$$

pertanto non si può trovare una base di autovettori di $A$.

Esercizio 3

Il vettore direttore di $s$ è

$$\left( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 5 \end{matrix}\right)$$

e quindi il piano $\pi\lq$ ha equazione

$$\pi': x+2y+5z=0.$$

La retta $r$ è pertanto

$$r: \begin{cases} x+2y++z-4=0\\ x+2y+5z=0, \end{cases}$$

ossia:

$$r: \left \{ \left( \begin{matrix} 5\\ 0\\ 2 \end{matrix}\right)+ s \left( \begin{matrix} -2\\ 1\\ 0 \end{matrix}\right) \right \}.$$

Quindi le rette $r$ e $l$ non sono parallele; non avendo punti in comune sono allora sghembe.

Esercizio 4

La matrice di $f$ rispetto alla base canonica di $R^4$ è:

$$M(f)= \left( \begin{matrix} 0&1&2&3\\ 1&0&1&2\\ 2&1&0&1\\ 3&2&1&0 \end{matrix}\right)$$

Riduciamo a scala $M(f)$ :

$$\left( \begin{matrix} 1&0&1&2\\ 0&1&2&3\\ 0&1&-2&-3\\ 0&2&-... ...trix} 1&0&1&2\\ 0&1&2&3\\ 0&0&4&6\\ 0&0&0&-6 \end{matrix}\right)=M_r(f),$$

matrice ridotta di $f$. È noto che $\det(M(f)) \neq 0 \iff \det(M_r(f)) \neq 0$, perciò essendo $\det(M_r(f))=-24$, è $\det(M(f)) \neq 0$ e quindi $f$ è invertibile.

La controimmagine di $(18,10,2,0)$ sarà pertanto costituita da un solo vettore, l'unica soluzione del sistema

$$M(f) \cdot \left( \begin{matrix} x\\ y\\ z\\ w \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 18\\ 10\\ 2\\ 0 \end{matrix}\right).$$

La matrice completa associata al sistema appena scritto è

$$\left( \begin{matrix} 0&1&2&3&18\\ 1&0&1&2&10\\ 2&1&0&1&2\\ 3&2&1&0&0 \end{matrix}\right)$$

che, ridotta a gardino, diventa

$$\left( \begin{matrix} 1&0&1&2&10\\ 0&1&2&3&18\\ 0&0&4&6&36\\ 0&0&0&-6&-24 \end{matrix}\right).$$

L'ultima matrice corrisponde al sistema:

$$\begin{cases} x+2z+2w=10\\ y+2z+3w=18\\ 4z+6w=36\\ -6w=-24 \end{cases}$$

che ammette l'unica soluzione

$$\begin{cases} x=-1\\ y=0\\ z=3\\ w=4. \end{cases}$$

La controimmagine di $(18,10,2,0)$ è quindi il vettore $(-1,0,3,4)$.