MODALITA’ d’ESAME

SCRITTO

Primo compitino: 31 ottobre 2008

Secondo compitino: 16 dicembre 2008

Secondo compitino o esame completo: 13 gennaio 2009

Esame completo: 3 febbraio 2009

Verranno pubblicati entro l’ultima settimana di lezione,sulla pagina web del corso, i risultati del secondo compitino ed anche la media pesata dei due compitini.

Solo le persone con un no nella media pesata non sono ammesse all’orale e devono prima sostenere uno scritto completo ( o eventualmente il secondo compitino a gennaio).

Lo scritto dei compitini o di qualunque appello fino a settembre rimane valido fino a settembre.

Requisito necessario per poter fare l’orale e` non avere “no” nello scritto.

ORALE

Lo studente deve avere padronanza di tutti i concetti e delle definizioni date nel corso.

Gli argomenti sono suddivisi in cinque parti. Per la prima, la seconda e la quarta parte viene qui di seguito data una lista di teoremi dei quali saper dare e spiegare l’enunciato.

Lo studente deve inoltre portare un teorema a scelta per ognuna di queste tre parti , tra quelli in neretto, completo di dimostrazione. Per la parte 5 ci sono scritte le modadilita’ specifiche di seguito

PARTE 1: SUCCESSIONI DI FUNZIONI

1.1: il limite uniforme di funzioni continue e` una funzione continua

1.2: le successioni di funzioni uniformemente di Cauchy convergono uniformemente

1.3: test di Weierstrass per serie di funzioni

1.4: per una successione di funzioni continue che converge uniformememente vale il passaggio

sotto il segno integrale

1.5: per una serie di funzioni continue che converge uniformememente vale il passaggio sotto

il segno integrale

1.6: teorema su convergenza uniforme e derivazione

1.7: convergenza uniforme e serie di potenze

1.8: il limite uniforme di funzioni integrabili e` integrabile

1.9: teorema del Dini

PARTE 2: CURVE ed 1-FORME DIFFERENZIALI

2.1: teorema di unicità del potenziale

2.2: teorema di caratterizzazione delle forme esatte

2.3: una forma esatta e` chiusa

2.4: una forma chiusa in un dominio stellato e` esatta

PARTE 3: STUDIO di FUNZIONI

Si richiede la padronanza dei concetti senza dimostrazioni

(libro di riferimento: E. Barozzi-L. Bergamaschi-E. Gonzalez

Nuovo Calculus – Edizioni Libreria Progetto 2002)

PARTE 4: INTEGRALI MULTIPLI (RIEMANN)

4.1: una funzione continua su un dominio chiuso, limitato e misurabile e` integrabile

4.2: teorema di Fubini per integrali di due e tre variabili

4.3: teorema della media integrale

4.4: formula di cambio di variabili negli integrali di due e tre variabili

4.5: teorema della divergenza nello spazio (dimostrazione nel caso in cui il dominio e`

normale rispetto ai tre piani coordinati)

4.6: formula di Gauss-Green (teorema della divergenza nel piano)

PARTE 5:

Teoria della misura e dell’integrazione

argomenti di esame

(testo di riferimento: H.L. Royden “Real Analysis”)

Preliminari:

1) L’integrazione secondo Riemann.

2) Cardinalità degli insiemi, numerabile e continuo.

3) Insiemi aperti e chiusi (Cap. 1).

4) Teorema di Lindelof e teorema di Heine-Borel.

5) Algebre e s-algebre.

6) La s-algebra dei boreliani.

La misura di Lebesgue:

1) Misura esterna di Lebesgue

2) Il criterio di Caratheodory e la misura di Lebesgue.

3) Esempio di un insieme non misurabile.

4) Funzioni misurabili.

5) Le funzioni semplici. Approssimazione con funzioni semplici

L’integrale di Lebesgue:

6) Integrale di funzioni semplici.

7) Integrale di funzioni limitate.

8) Teorema di convergenza limitata.

9) Integrale di funzioni misurabili non-negative.

10) Lemma di Fatou. Teorema di convergenza monotona.

11) Funzioni integrabili secondo Lebesgue.

12) Teorema di convergenza dominata.

All’esame ci si aspetta che lo studente padroneggi i concetti e l’ossatura della teoria oltre che conoscere in dettaglio le dimostrazioni relative ad almeno due dei seguenti argomenti

1) Misura esterna (paragrafo 3.2)

2) s-algebra degli insiemi misurabili (paragrafo 3.3 fino al Lemma 11 escluso)

3) Misurabilità degli intervalli e s-additività della misura di Lebesgue (Lemma 11, Teorema 12, Proposizione 13)

4) Esempio di un insieme non misurabile (paragrafo 3.4)

5) Funzioni misurabili (paragrafo 3.5, Proposizione 22 esclusa)

6) Integrale delle funzioni limitate (paragrafo 4.2 fino alla Proposizione 5 esclusa)

7) Proprietà dell’integrale delle funzioni limitate (Proposizione 5 e Proposizione 6)

8) Integrale delle funzioni non-negative (paragrafo 4.3)