Raccolta di Esercizi di Cinematica
Esercizio 1
Un velocista corre i
m piani in
s. Si approssimi il suo moto ipotizzando un'accelerazione costante
nei primi
m e poi una velocità costante per i rimanenti
m. Si determinino:
- a)
- la sua velocità finale;
- b)
- il tempo impiegato per percorrere i primi
m;
- c)
- il tempo necessario per gli altri
m;
- d)
- il modulo dell'accelerazione per i primi
m.
-
- Soluzione
Esercizio 2
Si consideri un'accelerazione che varia linearmente con il tempo:
. Si trovino le leggi orarie per:
a)
;
b)
.
- Soluzione
Esercizio 3
Un punto si muove nel piano
con equazioni
,
.
a) si calcolino le leggi orarie per le componenti della velocità e
dell'accelerazione;
b) si calcoli in funzione del tempo il modulo della velocità e dell'accelerazione;
c) si calcoli in funzione del tempo l'angolo che il vettore velocità
forma con l'asse
;
d) si calcolino in funzione del tempo le componenti dell'accelerazione
tangente e normale alla traiettoria.
- Soluzione
Esercizio 4
Da un punto
posto ad altezza
rispetto al terreno si lanciano dei sassi con velocità di modulo
costante e angolo di alzo
(
).
a) Per
,
m/s e
m, si determini il tempo di volo e l'angolo di impatto quando il
sasso colpisce il suolo.
b) Si determini l'angolo
che rende massima la gittata.
- Soluzione
Esercizio 5
Un ragazzo sta in piedi su un vagone scoperto che si muove con velocità
costante di
m/s rispetto al terreno. Il ragazzo lancia un sasso verso l'alto
con una velocità di
m/s.
- a)
- Qual è il modulo e la direzione della velocità iniziale del
sasso per una ragazza ferma a terra?
Il ragazzo riprende il sasso quando questo ritorna alla stessa altezza dalla
quale l'aveva lanciato.
- b)
- Qual è la gittata del sasso secondo il ragazzo e secondo la ragazza?
- c) Qual è il tempo di volo del sasso per il ragazzo e per la ragazza?
Soluzione
Esercizio 6
Un arciere vuole colpire con una freccia una mela su un albero ad altezza
m rispetto all'arciere. La distanza in linea d'aria tra arciere
e bersaglio sia
m. L'angolo di mira dell'arciere sia
rispetto all'orizzontale. Si determini:
- a1)
- con quale velocità (in modulo) deve essere scoccata la freccia
affinchè colpisca il bersaglio;
- a2)
- in quanto tempo la freccia raggiunge il bersaglio;
- a3)
- l'altezza massima raggiunta dalla freccia.
- b)
- Se la velocità massima con cui l'arciere è in grado di scoccare
la freccia è
m/s, si determini il valore minimo dell'angolo di mira (rispetto
all'orizzontale) che consente all'arciere di colpire il bersaglio.
- c)
- All'istante
la mela si stacca dal ramo e cade, mentre l'arciere sta mirando
in direzione della mela a un angolo di
rispetto all'orizzontale. Dato un tempo di reazione dell'arciere
pari a
s si determini con quale velocità l'arciere deve scagliare
la freccia per colpire in volo la mela.
Soluzione
Esercizio 7
Un uomo cammina nella pioggia munito di ombrello.
- a)
- Se le gocce di pioggia cadono secondo la verticale con velocità
m/s e l'uomo cammina in piano con velocità
m/s, si determini l'angolo ottimale di inclinazione dell'ombrello
e con quale velocità (in modulo) le gocce d'acqua colpiscono l'ombrello.
- b)
- Si ripeta il calcolo nel caso in cui la pioggia cada contraria al moto
dell'uomo con inclinazione pari a
rispetto alla verticale.
Soluzione
Esercizio 8
Un disco inizialmente fermo viene fatto ruotare con accelerazione angolare
costante
rad/s. Dopo
s l'accelerazione angolare cessa e il disco ruota con velocità
angolare costante per
s. Infine il disco decelera per
s fino a fermarsi. Si determini:
- a)
- quanti giri completi compie il disco complessivamente
- b)
- quanto vale la decelerazione angolare durante la fase di frenata
- c)
- quanto vale la velocità angolare media
Soluzione
Esercizio 9
Un vagone di un treno parte da fermo e accelera con accelerazione costante
m/s. All'interno del vagone un bambino gioca tirando in alto una palla.
Dopo
s dalla partenza del treno il bambino lancia la palla con velocità
pari a
m/s (in modulo).
a1) con quale inclinazione rispetto all'orizzontale il bambino deve lanciare
la palla affinchè questa gli ritorni tra le mani?
a2) dopo quanto tempo dall'istante di lancio la palla gli ritorna in mano?
a3) qualè la gittata della palla per un osservatore fisso esterno al
treno?
Si supponga che il bimbo lanci la palla con l'inclinazione trovata al punto
a1). Nell'istante in cui la palla raggiunge la quota massima l'accelerazione
del treno cessa bruscamente e il treno si muove con velocità costante.
b1) a che distanza dal bambino cadrà la palla? se il bambino guarda
nella direzione di moto del treno, la palla gli cadrà davanti o dietro
le spalle?
b2) qualè in questo caso la gittata della palla per l'osservatore fisso
esterno al treno?
Soluzione
Esercizio
Un bambino gioca a palla allinterno di un vagone di un treno. Il
bambino lancia la palla nella direzione di movimento del treno con un angolo di 60º
rispetto allorizzontale.
a) Se il treno si muove con velocità costante v la palla tocca il pavimento del
vagone a tre metri di distanza dal bambino. Quanto vale, allistante del lancio, il
modulo della velocità della palla rispetto al bambino? Qualè la gittata della
palla per un osservatore in quiete fuori dal treno?
b) Se allistante del lancio il treno comincia a frenare con decelerazione a,
a che distanza dal bambino atterra la palla, supposto che la lanci con la stessa velocità
di cui al punto a)? Qualè la gittata della palla per losservatore in quiete?
Risultati:
a) Sia v0 la velocità iniziale della palla nel sistema di
riferimento solidale al treno: v0=5.8 m/s,
sia D x¢ la gittata della palla per
losservatore in quiete: D x¢
= (3+6v/v0) m , con v espressa in m/s;
b) Sia D x0 la gittata della palla per
losservatore solidale al treno: D x0 = (3+0.53
a) m, con a espressa in m/s2.]
Esercizio
Un disco di hockey, colpito da un giocatore al livello del ghiaccio, sfiora la
sommità di una parete di vetro alta 2.8 m. Il tempo impiegato dal disco per
arrivare a quel punto è 0.65 secondi e lo spostamento orizzontale è 12 m. Si
trovino:
a)
il modulo della velocità iniziale del disco;
b)
la quota massima raggiunta dal disco.
Risultati:
a) 20 m/s; b) 2.87 m.
Esercizio
Un ragazzo lancia un sasso da una scogliera alta 52 m sul livello del mare
con una velocità iniziale di 48 m/s e con un angolo di elevazione di 36°. Si
determino:
a)
la gittata;
b)
la quota massima rispetto al livello del mare;
c)
il tempo di volo.
Si calcolino i punti a), b) e c) nel caso in cui quando il sasso si trova
alla quota massima una folata di vento imprima una velocità aggiuntiva di 10
m/s (in direzione parallela al mare).
Risultati:
a) 281 m; b) 93 m; c) 7.2 s.
Esercizio
Un punto si muove nel piano OXY secondo la seguente legge oraria: x
= t2, y = (t-1)2.
Si studi il moto determinando:
a)
la traiettoria;
b)
l’andamento della velocità;
c)
l’andamento dell’accelerazione.
Risultati:
a) y2+x2-2xy-2y-2x+1= 0; b)
;
c)
,
Esercizio
Una piattaforma circolare ruota, rispetto al terreno, con una velocità
angolare costante wt
attorno ad un asse verticale passante per il suo centro O. Un uomo corre sulla
piattaforma lungo una traiettoria circolare di raggio r' e centro O. La velocità angolare dell’uomo relativa alla piattaforma è w'
. Il vettore w'
ha verso opposto a quello del vettore wt
.
Si studi
l’accelerazione dell’uomo rispetto al terreno.
Risultato : a =
r' (w'- wt)2
diretta radialmente verso il centro.
Esercizio
Una piattaforma
circolare ruota, rispetto al terreno, con velocità angolare costante w attorno ad un asse verticale
passante per il suo centro O. Un uomo si sposta dal centro O al bordo della
piattaforma lungo un raggio r, muovendosi con velocità v¢ costante (rispetto alla piattaforma).
a)
Si studi la velocità dell’uomo rispetto al terreno.
b)
Si determini la traiettoria (si usino le coordinate polari).
c)
Si studi l’accelerazione dell’uomo rispetto al terreno (si discuta
l’accelerazione complementare di Coriolis).
Risultati: a)
; b)
; c)
Esercizio
In un sistema cartesiano, i cui assi hanno direzioni indicate dai versori
,
,
, il moto di una particella
è descritto dallequazione oraria:
dove le costanti del moto a e b si misurano in m e la costante
,
in rad/s.
Determinare:
a) lequazione della traiettoria della particella.Il vettore velocità ed il suo
modulo
b)
Il vettore accelerazione. Dimostrare che laccelerazione è sempre diretta verso il
centro della traiettoria.
c) Trovare per quali valori dellangolo
velocità ed accelerazione sono ortogonali.
Esercizio
Piove e, non essendoci vento, le gocce cadono verticali rispetto al
suolo. Un passeggero su un treno che si muove alla velocità costante di 100 km/h nota che
le gocce dacqua tracciano righe inclinate di 80º rispetto alla verticale sui
finestrini laterali. Si calcoli la velocità delle gocce dacqua rispetto al suolo.
Esercizio
Un ciondolo, schematizzabile come una massa m attaccata ad un filo di
massa trascurabile, è appeso allo specchietto retrovisore di un auto. Si calcoli di
quanto si inclina il ciondolo rispetto alla verticale se
a) lauto si muove con velocità costante v=50 km/h.
b) lauto accelera con accelerazione a=3 m/sec2.
Stefano Bettelli - Nicola Daldosso