PROGRAMMA EFFETTIVAMENTE SVOLTO nel corso di
MECCANICA ANALITICA per Fisica nell'a.a. 2010-2011


Le parti da conoscere per l'esame orale sono date dal contenuto delle sezioni delle dispense elencate sotto. Eventuali commenti sono scritti accanto o sotto le varie sezioni.

In particolare, accanto ai vari paragrafi sono segnate le definizioni, proposizioni e teoremi che sono necessari conoscere all'esame scritto, nel senso che la domanda di teoria riguarderà uno o più di questi argomenti

Come commento generale, preciso che gli esercizi, le osservazioni, e gli esempi sono richiesti  all'orale solo se  sono stati svolti a lezione, per questo fanno fede gli appunti presi a lezione. Nel caso di eventuali semplificazioni o modifiche negli enunciati e nelle dimostrazioni fatte a lezione,  lo studente è libero di scegliere tra la versione sulle dispense e quella svolta a lezione.



Cap 1. Lo Spaziotempo della Fisica Classica e Cinematica.

1.1 Lo spaziotempo della fisica classica: Tempo e Spazio assoluti e linee di universo 10
1.2 Sistemi di riferimento 
1.2.2 Sistemi di coordinate solidali

Commento: delle sezioni di sopra non è necessario conoscere i dettagli matematici di geometria differenziale.
La nozione di spazio affine e simili non saranno oggetto d'esame e saranno considerate acquisite (bisogna
saperle usare nelle applicazioni). La sezione 1.2.1 non è stata svolta e non è richiesta. Gli esercizi e gli esempi
sono richiesti  solo se sono stati svolti a lezione.

1.3 Cinematica assoluta del punto materiale
1.3.1 Derivazione di curve in spazi affini
1.3.2 Grandezze cinematiche
1.4 Cinematica relativa del punto materiale
1.4.1 Vettore omega e formule di Poisson. (Per lo scritto, da conoscere in particolare la dimostrazione  del Teorema 1.2 e l'enunciato della Proposizione 1.3 (la dimostrazione è facoltativa).)
1.4.2 Velocità ed accelerazione al variare del riferimento. (Per lo scritto, da conoscere in particolare la dimostrazione delle formule (1.67) e (1.68).)

Commento: la sezione 1.3.3  è stata svolta solo in parte (vedere gli appunti presi a lezione).

Cap 2. Dinamica del punto e dei sistemi di punti materiali.

2.1 Primo principio della dinamica
2.1.1 Sistemi di riferimento inerziali
2.1.2 Trasformazioni di Galileo. Per lo scritto, da conoscere in particolare la dimostrazione  del Proposizione 2.1 e l'enunciato del Teorema 2.1.
2.1.3 Moto relativo di riferimenti inerziali

2.2 Formulazione generale della dinamica classica dei sistemi di punti materiali
2.2.1 Masse, Impulsi e Forze
2.2.2 Sovrapposizione delle forze
2.2.3 Problema fondamentale della dinamica e determinismo
2.3 Situazioni dinamiche più generali
2.3.1 Moto assegnato per un sottosistema: forze dipendenti dal tempo.
2.3.2 Vincoli geometrici: reazioni vincolari

Commento: la sezione 2.3.2  è stata svolta solo in minima parte (vedere gli appunti presi a lezione).


2.3.3 Dinamica in riferimenti non inerziali: forze inerziali.
2.4 Alcuni commenti sulla formulazione generale sulla dinamica newtoniana.
2.4.1 Invarianza galileiana della meccanica classica.
2.4.2 Il fallimento del programma newtoniano.
2.4.3 Un commento sul cosiddetto “Principio di Mach”.

Commento: la sezione 2.4 è stata solo accennata, non bisogna sapere nulla di più dei pochi accenni fatti a lezione.

Cap 3. Introduzione alla teoria delle equazioni differenziali ordinarie.


Commento:  Questo capitolo non è stato svolto a lezione ed il contenuto è considerato come noto da altri corsi. Degli argomenti che appaiono in questo capitolo bisogna conoscere le nozioni elementari della teoria dei sistemi di equazioni differenziali come visto nei corsi di analisi.



Cap 4. Leggi di bilancio ed integrali primi in meccanica.



4.4.1 Massa totale, impulso totale, momento angolare totale, energia cinetica totale (definizioni ma non gli esercizi)
4.1.2 Equazioni cardinali.
4.1.3 Leggi di bilancio/conservazione di impulso e momento angolare.
4.2 Energia meccanica (essenzialmente solo la Definizione 4.2. il Teorema 4.2 è considerato noto dai corsi di meccanica)
4.2.1 Teorema delle forze vive. Da sapere per l'esame scritto la dimostrazione del Teorema 4.3.
4.2.2 Forze conservative. (Solo la definizione 4.3, il teorema 4.4 è considerato noto da altri corsi.)
4.2.3 Bilancio e conservazione dell'energia meccanica. Da sapere per l'esame scritto la dimostrazione del Teorema 4.5.

 Commento:  Questo capitolo  è stato svolto sommariamente a lezione ed il contenuto è considerato quasi tutto come noto da altri corsi.



Cap. 6 Introduzione alla teoria della stabilità.

6.1 Punti singolari e configurazioni di equilibrio. (A parte le motivazioni generali da sapere solo la Definizione 6.1 e la Proposizione 6.1 (con dimostrazione) nel caso particolare di sistema autonomo.)
6.1.1 Equilibrio stabile ed instabile. (Da conoscere la Definizione 6.3 solo i casi a,b,c,d.)
6.1.2 Introduzione ai metodi di Liapunov per lo studio della stabilità. (Da conoscere l'enunciato della Proposizione 6.3 e del  Teorema 6.1 eventualmente nella versione semplificata vista a lezione.)

Commento:  Questo capitolo  è stato svolto  a lezione in modo sommario e un po' semplificato. La versione sugli appunti è sufficiente per l'esame.


Cap. 7 Fondamenti di Meccanica Lagrangiana.

7.1 Un esempio introduttivo.
7.2 Il caso generale: sistemi olonomi ed equazioni di Eulero-Lagrange.
7.2.1 Spaziotempo delle configurazioni in presenza di vincoli olonomi.
7.2.2 Grandezze cinematiche ed energia cinetica.
7.2.3 Spostamenti virtuali e vincoli ideali (Degli esempi 7.2 da sapere solo quanto svolto a lezione, in particilare il secondo esempio non è stato discusso ma solo brevemente accennato.)
7.3 Equazioni di Eulero-Lagrange e loro proprietà elementari. (Per lo scritto si deve conoscere l'enunciato e la dimostrazione del Teorema 7.1.)
7.3.1 Normalità delle equazioni di Eulero-Lagrange. (Per lo scritto si deve conoscere l'enunciato e la dimostrazione della Proposizione 7.2.)
7.3.2 Spaziotempo degli atti di moto ed invarianza delle equazioni di Eulero-Lagrange. (Da conoscere solo nelle linee generali, come fatto a lezione.)
7.3.3 Lagrangiane.
7.3.4 Cambiamento di riferimento inerziale e non unicità della lagrangiana.



Cap. 8 Alcuni argomenti più  avanzati di Meccanica Lagrangiana.

8.1 Il cosiddetto “Principio di Minima Azione” per sistemi che ammettono lagrangiana.
8.1.1 Primi rudimenti di calcolo delle variazioni.
8.1.2 Il principio di minima azione. (Da sapere per lo scritto l'enunciato e la dimostrazione del Teorema 8.1.)
8.2  I potenziali generalizzati.
8.2.1 Il caso della forza di Lorentz. (Bisogna conoscere, per lo scritto, il contenuto di questo paragrafo.)
8.2.2 Generalizzazione della nozione di potenziale. (Da sapere per lo scritto la Definizione 8.1.)
8.2.3 Condizioni per l’esistenza del potenziale generalizzato. (Da sapere per lo scritto l'enunciato (ma non la dimostrazione) del  Teorema 8.2.)
8.2.4 Potenziali generalizzati delle forze inerziali. (Argomento solo accennato da sapere solo quanto detto a lezione)
8.3 Configurazioni di equilibrio e stabilità. 
8.3.1 Configurazioni di equilibrio rispetto ad un riferimento. (Da sapere per lo scritto l'enunciato e la dimostrazione della Proposizione 8.2, ma non la Proposizione 8.3 ed i commenti ad essa.)
8.3.2 Equilibrio stabile ed instabile, teorema di Lagrange-Dirichlet. (Da sapere per lo scritto, la Definizione 8.3, nei punti a,b,c,d, enunciato e dimostrazione del Teorema 8.3.)



Cap. 9 Simmetrie e leggi di conservazione: teoremi di Noether e di Jacobi.

9.1 Il legame tra simmetria e leggi di conservazione: coordinate cicliche.
9.1.1 Coordinate cicliche e conservazione dei momenti coniugati. (Da sapere per lo scritto  enunciato e prova della Proposizione 9.1.)
9.1.2 Invarianza traslazionale e conservazione dell’impulso. (Da sapere per lo scritto  enunciato e prova della Proposizione 9.2.)
9.1.3 Invarianza rotazionale e conservazione del momento angolare. (Da sapere per lo scritto  enunciato e prova della Proposizione 9.3.)
9.2 Il legame tra simmetrie e leggi di conservazione: il teorema di Emmy Noether.
9.2.1 Trasformazioni su j^1(V^{n+1}).
9.2.2 Il teorema di Noether in forma locale elementare. (Da sapere per lo scritto: Definizione 9.1  enunciato e prova del Teorema 9.1.)
9.3 L’integrale primo di Jacobi, invarianza sotto “traslazioni temporali” e conservazione dell’energia meccanica. (Da sapere per lo scritto enunciato e prova del Teorema 9.3 e quanto si trova nella prima osservazione successiva al teorema.)
9.4.1 Invarianza sotto il gruppo di Galileo in meccanica lagrangiana (solo quanto accennato a lezione.)



Cap. 10 Fondamenti di Meccanica hamiltoniana.

10.1 Lo spaziotempo delle fasi e le equazioni di Hamilton
10.1.1 Lo spaziotempo delle Fasi F(V^n+1).
10.1.2 Le equazioni di Hamilton. (Per l'esame scritto bisogna conoscere l'enunciato e la prova della Proposizione 10.1 e del Teorema 10.1.)



Appendice A. Alcune nozioni matematiche rilevanti.

A.1 Elementi di Geometria Affine
A.1.1 Spazi affini
A.1.2 Spazi Euclidei
A.1.3 Orientazione di spazi Euclidei
A.2 Elementi di geometria differenziale
A.2.1 Richiami di Topologia elementare
A.2.2 Variet`a differenziabili


Commento: dell'appendice A è sufficiente conoscere (ma non verrà chiesto nulla all'esame) gli strumenti
matematici che sono stati usati nel corso. Essenzialmente è tutto contenuto nelle sezioni indicate sopra.
La nozione di varietà differenziabile è sufficiente conoscerla in modo più o meno intuitivo come presentata a lezione.