IL TEOREMA DI BERNOULLI
ossia la conservazione dell'energia in un fluido.
 
 
 
  Consideriamo un fluido incomprimibile ,cioè avente densità indipendente dalla pressione a cui è sottoposto, in moto stazionario in un campo di forze esterne conservative.  

Innanzitutto chiariamo che un fluido (liquido o gas) si dice in moto stazionario se il campo vettoriale v(x,y,z) non varia nel tempo. In altre parole, misure di velocità euleriane eseguite a tempi diversi allo stesso traguardo, danno risultati uguali. 
Poiché questa proprietà deve essere valida per ogni traguardo, i moti stazionari devono essere caratterizzati da traiettorie delle particelle fisse nel tempo.  
La traiettoria seguita da ciascun elemento fluido si dice linea di flusso. L'insieme delle linee di flusso costituisce una superficie tubolare detta tubo di flusso che, se ha sezione molto piccola, viene chiamato filetto fluido elementare.  
  Caratteristica di un fluido incomprimibile in moto stazionario è la conservazione della massa: la massa del liquido compresa tra due sezioni S1 e S2 non varia nel tempo, ossia la massa che entra nel tempo Dt attraverso S1 uguaglia la massa che esce nello stesso intervallo di tempo da S2 quindi  
rS1v1Dt = rS2v2Dt      S*v  è  INVARIANTE      (1)
La quantità  S*v  si dice portata volumetrica: è il volume di fluido che passa nell'unità di tempo attraverso una sezione di tubo.  
  Chiamiamo p1 e p2 le pressioni esercitate rispettivamente su S1 e S2 e Dx1e Dx2 le distanze percorse nell'intervallo Dt: la sezione S1 verrà "spinta" dal fluido e si avrà un "lavoro fatto sul fluido" pari a p1S1Dx1, mentre in S2 è il fluido che c'è davanti che "spinge" all'indietro la superficie e il "lavoro fatto dal fluido" sarà -p2S2Dx2, cosicché il lavoro totale compiuto sul volume di fluido compreso tra S1 e S2 risulta essere  

West = p1S1Dx1-p2S2Dx2  = per (1) = (p1-p2)S1Dx1                                (2)  
ma  
West = DU dove U è la somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale gravitazionale posseduta dalla massa Dm, perciò  
West = U2-U1 = (1/2 Dmv22+Dmgz2)- (1/2 Dmv12+Dmgz1) 
ed essendo Dm = rS1Dx1 per (1),  
West = [(1/2 rv22+rgz2)-(1/2 rv12+rgz1)]S1Dx1                                  (3)  
da cui, (2) = (3)  
(p1-p2)S1Dx1 = [(1/2 rv22+rgz2)-(1/2 rv12+rgz1)]S1Dx1 
ovvero  
1/2 rv12+rgz1 +p1 = 1/2 rv22+rgz2+p2
 
cioè:  
 
1/2 rv2+rgz+p = costante.
è questa l'aspressione del teorema di Bernoulli. 
 
  Come applicazione di questo teorema, si ha che se il fluido si muove solo su un piano orizzontale, il termine  rgz corrispondente all'energia potenziale rimane costante per cui  
1/2 rv2+p=costante'
ossia v2 e p risultano tali che se aumenta un termine, diminuisce l'altro. 
N.B. Questo risultato vale anche se il termine rgz è trascurabile rispetto agli altri due, come in alcuni (*) dei casi sperimentali sotto elencati: 
  
1)       Soffiante e palloncino  

1)bis  Soffiante e foglio di carta  

2)      Soffiante e due palloncini  

2)bis  Variante con due strisce di carta  
  
 

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