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Informazioni generali per il corso. Alcuni argomenti possibili per seminari nell'area del calcolo delle probabilità sono i seguenti.
Il processo di Wiener come limite della passeggiata casuale. La passeggiata casuale è un moto aleatorio che avviene, a tempi discreti, sui punti della retta reale che hanno ascissa intera. Come fare se si vuole costruire un moto aleatorio che si svolga con continuità sulla retta, in corrispondenza di un tempo che sia anch'esso continuo, e non più discreto? Alcuni testi possibili: Billingsley "Convergence of probability measures"; Taylor and Karlin "Introduction to Stochastic Modelling".
Problema della rovina del giocatore. Consideriamo una sequenza di partite, in cui all'n-esima partita il giocatore riceve dal banco una quantità Xn (ovviamente, se Xn è negativa, sarà il giocatore a pagare al banco -Xn). Supponiamo che il giocatore parta con un capitale S0 finito e indichiamo Sn il capitale dopo n partite. Il gioco termina nel momento in cui il giocatore, ovvero il banco, fanno bancarotta. Possiamo allora chiederci: qual è la probabilità che il giocatore vinca? Qual è la vincita attesa? Dopo quante partite, in media, finisce il gioco? Cosa succede se supponiamo che il banco abbia un capitale infinito, ossia non possa mai fare bancarotta? Da un punto di vista formale, diversi argomenti sono collegati al problema. Ne ricordiamo alcuni: calcolo delle probabilità di assorbimento in barriere, le identità di Wald, le funzioni generatrici dei momenti. E' possibile anche affrontare problemi sulle equazioni alle differenze. Alcuni testi possibili: Hoel, Port and Stone "Introduction to Probability Theory"; Resnick "Adventures in stochastic processes"; Feller "Introduction to Probability Theory".
Il problema della principessa e altri problemi. Vogliamo indicare con questo titolo una serie di noti problemi nel campo della ottimizzazione probabilistica. Alcuni testi possibili: Zabczyk "Chance and decision"; Pintacuda "Primo corso di probabilità"; Chow, Robbins and Siegmund "The theory of optimal stopping".
Introduzione al processo di Poisson. Costruzione di un modello per la distribuzione di particelle nello spazio o di eventi nel tempo. Paradosso dei tempi d'arresto. Processo di Poisson composto. Alcuni testi possibili: Hoel, Port and Stone "Introduction to Probability Theory"; Resnick "Adventures in stochastic processes"; Billingsley "Probability and measure".
Processi di diramazione (branching). I processi di diramazione sorgono naturalmente nella descrizione dell'evoluzione di popolazioni (asessuate), nella cosiddetta teoria di Galton. Sono legati al problema dell'eredità (ad esempio, la storia dei cognomi). In parte, sono connessi a questioni di storia della matematica. Alcuni testi possibili: Williams "Probability with martingales"; Resnick "Adventures in stochastic processes"; Stigler "The history of statistics : the measurement of uncertainty before 1900".
Ogni argomento può essere svolto a diversi livelli di approfondimento; alcuni di essi si prestano a essere scelti da più di uno studente/essa che si potranno dividere il lavoro. La quantificazione in crediti potrà essere fatta una volta deciso il numero di partecipanti e i compiti specifici. Si tratta di argomenti che si trovano su molti libri; sarà richiesta in ogni caso la consultazione di più di un testo e un approfondimento individuale. Il lavoro potrà essere compiuto sotto la guida del dott. Bonaccorsi o mia. Riteniamo conveniente una verifica dei progressi a cadenza regolare. Al termine del periodo di lavoro, gli studenti dovranno presentare una relazione scritta e sostenere una esposizione orale. Gli interessati sono pregati di contattarmi. Trento, 10 Aprile 2002 prof. Luciano Tubaro |
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