{VERSION 4 0 "APPLE_PPC_MAC" "4.0" }
{USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 
1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 
0 0 1 }{CSTYLE "2D Comment" 2 18 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }
{CSTYLE "" -1 256 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 
257 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 258 "" 0 1 0 0 
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 259 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 260 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }
{CSTYLE "" -1 261 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 
262 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 263 "" 0 1 0 0 
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 264 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 265 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }
{CSTYLE "" -1 266 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 
267 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 268 "" 0 1 0 0 
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 269 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 
1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" 
-1 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 
1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }}
{SECT 0 {EXCHG {PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 20 "Modello SIR a 2 siti" }}
}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "restart:with(linalg):" }}}
{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 194 "Costruiamo la matrice beta (dei c
ontatti) usando il vincolo che il numero dei contatti di 1 con 2 deveo
no essere uguali a quelli di 2 con 1: quindi la matrice sara' simmetri
ca; poniamo uguale a " }{TEXT 256 1 "z" }{TEXT -1 38 " tale elemento. \+
Inoltre imponiamo che " }{XPPEDIT 18 0 "c[i];" "6#&%\"cG6#%\"iG" }
{TEXT -1 44 " sia il tasso di contatto nella popolazione " }{TEXT 257 
1 "i" }{TEXT -1 15 ": questo da' a " }{TEXT 258 4 "beta" }{TEXT -1 22 
" la struttura seguente" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 61 "
b := matrix(2,2,[(c[1]-N[2]*z)/N[1],z,z,(c[2]-N[1]*z)/N[2]]);" }}}
{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 8 "Poiche' " }{TEXT 259 4 "beta" }
{TEXT -1 55 " deve essere una matrice nonegativa, avremo il vincolo " 
}{XPPEDIT 18 0 "0 < c[1]-N[2]*z;" "6#2\"\"!,&&%\"cG6#\"\"\"F)*&&%\"NG6
#\"\"#F)%\"zGF)!\"\"" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "0 < c[2]-N[1]*
z;" "6#2\"\"!,&&%\"cG6#\"\"#\"\"\"*&&%\"NG6#F*F*%\"zGF*!\"\"" }{TEXT 
-1 1 "." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 "Scriviamo ora le equaz
ioni del sistema:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 350 "eqSIR
2 := diff(S[1](t),t) +mu[1]*(S[1](t)-N[1]) +  S[1](t)*(b[1,1]*Y[1](t)+
b[1,2]*Y[2](t)) = 0, diff(S[2](t),t) +mu[2]*(S[2](t)-N[2]) + S[2](t)*(
b[2,1]*Y[1](t)+b[2,2]*Y[2](t)) = 0, diff(Y[1](t),t) +(mu[1]+gmma)*Y[1]
(t) - S[1](t)*(b[1,1]*Y[1](t)+b[1,2]*Y[2](t)) = 0, diff(Y[2](t),t) +(m
u[2]+gmma)*Y[2](t) - S[2](t)*(b[2,1]*Y[1](t)+b[2,2]*Y[2](t)) = 0;" }}}
{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 71 "Calcoliamo la matrice tale che il \+
suo raggio spettrale e' il parametro " }{XPPEDIT 18 0 "R[0];" "6#&%\"R
G6#\"\"!" }{TEXT -1 27 " di soglia (vedi il testo):" }}}{EXCHG {PARA 
0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 115 "BD := matrix(2,2, [(c[1]-N[2]*z)/(mu[1]+
gmma),N[1]*z/(mu[2]+gmma),N[2]*z/(mu[1]+gmma),(c[2]-N[1]*z)/(mu[2]+gmm
a)]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "eig :=  eigenvalue
s(BD)[1];" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 129 "Avendoli prima guar
dati entrambi, abbiamo visto che il primo autovalore e' il piu' grande
 (in modulo), ossia il raggio spettrale." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 28 "Ci interessera' vedere come " }{XPPEDIT 18 0 "R[0];" "6#&
%\"RG6#\"\"!" }{TEXT -1 12 " dipende da " }{TEXT 260 1 "z" }{TEXT -1 
71 ". Per fare questo, costruiamo una funzione, usando il comando \"un
apply\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "f := unapply(eig
,z);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 "Diamo ora dei valori alle
 popolazioni e ai tassi di contatto" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 30 "N := [500,100]; c := [30,100];" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 40 "alle mortalita' e al tasso di guarigione" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "mu := [0.01,0.02]; gmma := 50; " }}
}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 23 "Riguardiamo la matrice " }{TEXT 
261 2 "BD" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "evalm(BD);" }}
}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 70 "purtroppo non riesco a farmi scri
vere i valori. si vede pero' che per " }{TEXT 262 3 "z=0" }{TEXT -1 
62 " la matrice non e' irriducibile, e i suoi due autovalori sono:" }}
}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "subs(z=0,BD[1,1]);subs(z=0,
BD[2,2]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 52 "facciamo ora il garf
ico dell'autovalore massimo per " }{TEXT 263 1 "z" }{TEXT -1 33 " da 0
 al massimo valore possibile" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 
0 36 "plot(f,0..min(c[1]/N[2],c[2]/N[1]));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 0 "" }{TEXT 264 1 "f" }{TEXT -1 16 " parte da 2 per " }{TEXT 
265 3 "z=0" }{TEXT -1 74 " poi diminuisce perche' la trasmissione e' d
iluita dall'altra popolazione." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "Il mini
mo possibile e'" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "f(0.2);" 
}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 23 "lievissimamente sotto 1" }}}
{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 "Passiamo ora alla risoluzione del \+
sistema di ODE. Poniamo le condizioni iniziali:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 71 "ini := S[1](0) = 475, S[2](0) = 77, Y[1](0) = \+
0.00001, Y[2](0) = 0.001;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 8 "Diamo
 a " }{TEXT 266 1 "z" }{TEXT -1 22 " un valore intermedio." }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "z:=0.1; f(0.1);" }}}{EXCHG {PARA 0 
"" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "R[0];" "6#&%\"RG6#\"\"!" }{TEXT -1 4 " > 1" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 77 "sol := dsolve(\{eqSIR2,ini\}
,\{S[1](t),S[2](t),Y[1](t),Y[2](t)\},type = numeric);" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "sol(0);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 7 "sol(1);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 84 "Ecco
 gli infetti nella prima popolazione. Ci sono oscillazioni (lievemente
) smorzate" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "with(plots):o
deplot(sol,[t,Y[1](t)],0..50);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 
"Ecco gli infetti nelle due popolazioni:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 45 "odeplot(sol,[[t,Y[1](t)],[t,Y[2](t)]],0..50);" }}}
{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 36 "I picchi sono perfettamente in fas
e." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 15 "Diminuiamo ora " }{TEXT 267 1 "z" }
}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 
0 10 "z := 0.01;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 71 "ini := \+
S[1](0) = 475, S[2](0) = 60, Y[1](0) = 0.00001, Y[2](0) = 0.001;" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 77 "sol := dsolve(\{eqSIR2,ini\}
,\{S[1](t),S[2](t),Y[1](t),Y[2](t)\},type = numeric);" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "sol(0);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 7 "sol(1);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
45 "odeplot(sol,[[t,Y[1](t)],[t,Y[2](t)]],0..50);" }}}{EXCHG {PARA 0 "
" 0 "" {TEXT -1 80 "I picchi sono ancora perfettamente sincronizzati, \+
seppure piu' alti e piu' radi." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 15 "In ques
to caso " }{XPPEDIT 18 0 "R[0];" "6#&%\"RG6#\"\"!" }{TEXT -1 2 " =" }}
}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "f(0.01);" }}}{EXCHG {PARA 0 
"" 0 "" {TEXT -1 67 "Vediamo ora un modo per trovare l'equilibrio ende
mico del sistema. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 4 "Sia " }{TEXT 268 1 "
G" }{TEXT -1 93 " la funzione definita nelle note, tale che gli infett
i all'equilibrio ne siano il punto fisso" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 176 "G := x -> [mu[1]/(mu[1]+gmma)*N[1]*(b[1,1]*x[1]+b[1,
2]*x[2])/(mu[1]+b[1,1]*x[1]+b[1,2]*x[2]),mu[2]/(mu[2]+gmma)*N[2]*(b[2,
1]*x[1]+b[2,2]*x[2])/(mu[2]+b[2,1]*x[1]+b[2,2]*x[2])];" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "Se ora scegliamo un arbitrario " }
{XPPEDIT 18 0 "x[0];" "6#&%\"xG6#\"\"!" }{TEXT -1 38 " positivo e cost
ruiamo la successione " }{XPPEDIT 18 0 "x[n+1] = G(x[n]);" "6#/&%\"xG6
#,&%\"nG\"\"\"F)F)-%\"GG6#&F%6#F(" }{TEXT -1 11 " si ha che " }
{XPPEDIT 18 0 "x[n];" "6#&%\"xG6#%\"nG" }{TEXT -1 25 " tende al punto \+
fisso di " }{TEXT 269 1 "G" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
22 "x[0] := [0.001,0.001];" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
36 "for i to 50 do x[i] := G(x[i-1]) od;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 29 "Si ha infatti convergenza...." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 52 "Troviamo ora i suscettibili dalle segeuenti formule:" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 66 "S1star := (mu[1]+gmma)*x[50]
[1]/(b[1,1]*x[50][1]+b[1,2]*x[50][2]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 66 "S2star := (mu[2]+gmma)*x[50][2]/(b[2,1]*x[50][1]+b[2,
2]*x[50][2]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}
{MARK "2 0 0" 141 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 1 1 1 }{PAGENUMBERS 0 1 
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