Matrici

Esercizio 1   Date le matrici

$$A=\left( \begin{matrix}1 & 3 \\ 2& 1 \end{matrix} \right) \quad \... ...m{e} \quad B=\left( \begin{matrix}2 & 0 & -4 \\ 3 & -2 & 6 \end{matrix} \right)$$

calcolare, se possibile, i prodotti

$$AB \quad \textrm{e} \quad BA.$$

Dimostrazione. La matrice $A$ ha due righe e due colonne ovvero è una matrice $2 \times 2$, mentre la matrice $B$ è una matrice $2 \times 3$. Poiché il numero di colonne di $A$ è uguale al numero di righe di $B$ è definito il prodotto $AB$. La matrice $AB$ ha lo stesso numero di righe di $A$ e lo stesso numero di colonne di $B$ pertanto $AB$ è una matrice $2 \times 3$. Risulta inoltre

$$AB = \left( \begin{matrix}1&3\\ 2&1 \end{matrix} \right) \cdot \left( \begin{matrix}2&0&-4\\ 3&-2 &6 \end{matrix} \right)$$

$$= \left( \begin{matrix}1 \cdot 2 +3 \cdot 3& 1 \cdot 0+3 \cdot (-... ... +1 \cdot 3& 2 \cdot 0+1 \cdot (-2)& 2 \cdot(-4)+1 \cdot 6 \end{matrix} \right)$$

$$= \left( \begin{matrix}11& -6&14\\ 7&-2 &-2 \end{matrix} \right)$$

Il prodotto $BA$ non è definito perchè il numero di colonne della matrice $B$ è diverso dal numero di righe della matrice $A$. $\qedsymbol$

Esercizio 2   Date le matrici

$$A=\left( \begin{matrix}2 & -1 \\ 1 & 0 \\ -3 & 4 \end{matrix} \ri... ...rm{e} \quad B=\left( \begin{matrix}1 & -2 & 5 \\ 3 & 4 & 0 \end{matrix} \right)$$

calcolare, se possibile, i prodotti

$$AB \quad \textrm{e} \quad BA.$$

Dimostrazione. La matrice $A$ è una matrice $3 \times 2$ mentre la matrice $B$ è una matrice $2 \times 3$ pertanto sono definiti entrambi i prodotti $AB$ e $BA$. Inoltre $AB$ è una matrice $3 \times 3$ mentre $BA$ è una matrice $2 \times 2$.

Risulta:

$$AB=\left( \begin{matrix} 2&-1\\ 1&0\\ -3&4 \end{matrix}\right... ...= \left( \begin{matrix} -1& -8&10\\ 1&-2&5\\ 9&22&-15 \end{matrix}\right),$$

e

$$BA= \left( \begin{matrix} 1&-2&5\\ 3&4 &0 \end{matrix}\right) \... ...d{matrix}\right)= \left( \begin{matrix} -15& 19\\ 10&-3 \end{matrix}\right).$$

$\qedsymbol$

Esercizio 3   Date le matrici

$$A= \left( \begin{matrix} 1&2&1\\ 1&0&3 \end{matrix}\right),\qua... ...matrix}\right),\quad C= \left( \begin{matrix} 0&2\\ 1&1 \end{matrix}\right)$$

verificare che

$$A(BC)=(AB)C$$

Dimostrazione. Innanzitutto verifichiamo che i prodotti coinvolti nell'uguaglianza

$$A(BC)=(AB)C$$

siano definiti. Le matrici $A$, $B$, $C$ sono matrici $2 \times 3$, $3 \times 2$ e $2 \times 2$ rispettivamente. Sono definiti allora i prodotti $BC$ e $AB$ ed inoltre la matrice $BC$ è una matrice $3 \times 2$ mentre la matrice $AB$ è una matrice $2 \times 2$. Sono definiti così anche i prodotti $A(BC)$ e $(AB)C$ e sono entrambi matrici $2 \times 2$.

Ora:

$$BC= \left( \begin{matrix} 1&2\\ -1&1\\ 1&2 \end{matrix}\right... ...trix}\right)= \left( \begin{matrix} 2& 4\\ 1&-1\\ 2&4 \end{matrix}\right).$$

e

$$AB=\left( \begin{matrix} 1&2&1\\ 1&0&3 \end{matrix}\right) \lef... ...2 \end{matrix}\right)= \left( \begin{matrix} 0& 6\\ 4&8 \end{matrix}\right).$$

Infine:

$$A(BC)=\left( \begin{matrix} 1&2&1\\ 1&0&3 \end{matrix}\right) \... ...&4 \end{matrix}\right)= \left( \begin{matrix} 6&6\\ 8&16 \end{matrix}\right)$$

e

$$(AB)C= \left( \begin{matrix} 0& 6\\ 4&8 \end{matrix}\right) \le... ...&1 \end{matrix}\right)= \left( \begin{matrix} 6&6\\ 8&16 \end{matrix}\right)$$

$\qedsymbol$

Esercizio 4   Sia $D$ la matrice

$$D=\left( \begin{matrix} \lambda_1&0&0&0\\ 0&\lambda_2&0&0\\ 0... ...\ 0&0&0&\lambda_4 \end{matrix}\right), \quad \lambda_i \in R, i=1, \ldots 4.$$

1. Supponendo che gli elementi sulla diagonale di $D$ siano tra loro tutti distinti, determinare le matrici $A$, $4 \times 4$, che commutano con $D$, ovvero tali che
   $$A \cdot D= D \cdot A$$

2. Supponendo che gli elementi sulla diagonale di $D$ siano tra loro tutti uguali, determinare le matrici $A$, $4 \times 4$, che commutano con $D$.

Dimostrazione. Sia $A$ una generica matrice $4 \times 4$ che indichiamo con :

$$A= \left( \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a... ...{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{matrix}\right),$$

calcoliamo i prodotti $AD$ e $DA$.

Risulta:

$$AD =\left( \begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}... ... 0\\ 0& \lambda_2& 0&0\\ 0&0&\lambda_3&0\\ 0&0&0&\lambda_4 \end{matrix} \right)$$

$$= \left( \begin{matrix}a_{11} \lambda_1&a_{12} \lambda_2&a_{13} \... ...ambda_1&a_{42} \lambda_2&a_{43} \lambda_3&a_{44} \lambda_4 \end{matrix} \right)$$

e

$$DA = \left( \begin{matrix}\lambda_1 & 0& 0& 0\\ 0& \lambda_2& 0&0\\ ... ...\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{matrix}\right)$$

$$= \left( \begin{matrix}a_{11} \lambda_1&a_{12} \lambda_1&a_{13} \... ...lambda_4&a_{42} \lambda_4&a_{43} \lambda_4&a_{44} \lambda_4 \end{matrix}\right)$$

Supponiamo che gli elementi sulla diagonale della matrice $D$ siano tra loro tutti distinti. Allora $AD=DA$ se e solo se

$$\lambda_i a_{ij}=\lambda_j a_{ij} \qquad i,j=1 \ldots 4, \quad i \neq j,$$

ovvero se e solo se

$$(\lambda_i - \lambda_j)a_{ij}=0 \qquad i \neq j.$$

Poichè $\lambda_i- \lambda_j \neq 0$ la matrice $A$ commuta con la matrice $D$ se e solo se $a_{ij}=0$ per $i \neq j$ ovvero se e solo se $A$ è una matrice diagonale.

Se invece gli elementi sulla diagonale della matrice $D$ sono fra loro uguali allora ogni matrice $4 \times 4$ commuta con $D$. $\qedsymbol$

Esercizio 5   Sia $A$ la matrice:

$$A= \left(\begin{matrix} 1&0&x\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{matrix}\right), \qquad x \in R.$$

Calcolare la matrice $A^n$, per ogni $n$ numero naturale.

Dimostrazione. Calcoliamo le potenze $A^2$, $A^3$ e $A^4$. Risulta:

$$A^2=A \cdot A= \left(\begin{matrix} 1&0&x\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \en... ...}\right)= \left(\begin{matrix} 1&0&2x\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{matrix}\right),$$

$$A^3=A^2 \cdot A= \left(\begin{matrix} 1&0&2x\\ 0&1&0\\ 0&0&1 ... ...}\right)= \left(\begin{matrix} 1&0&3x\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{matrix}\right),$$

$$A^4=A^3 \cdot A= \left(\begin{matrix} 1&0&3x\\ 0&1&0\\ 0&0&1 ... ...}\right)= \left(\begin{matrix} 1&0&4x\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{matrix}\right).$$

Sulla base degli esempi visti affermiamo che

$$A^n=\left(\begin{matrix} 1&0&nx\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{matrix}\right).$$

Per dimostrare l'affermazione procediamo per induzione su $n$. Se $n=1$ l'uguaglianza è banalmente verificata. Supponiamola vera per $n$, ovvero supponiamo che

$$A^n=\left(\begin{matrix} 1&0&nx\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{matrix}\right)$$

e dimostriamola per $n+1$ ovvero proviamo che

$$A^{n+1}=\left(\begin{matrix} 1&0&(n+1)x\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{matrix}\right).$$

Risulta

$$A^{n+1}=A^n \cdot A= \left(\begin{matrix} 1&0&nx\\ 0&1&0\\ 0&... ...ght)= \left(\begin{matrix} 1&0&(n+1)x\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{matrix}\right).$$

$\qedsymbol$

Esercizio 6   Sia $A$ la matrice

$$A=\left( \begin{matrix} 1&0&1\\ -3&1&0\\ 0&1&3 \end{matrix} \right).$$

Provare che $A$ è radice del polinomio $p(x)=-x^3+5x^2-7x$, ovvero provare che $p(A)$ è la matrice nulla.

Dimostrazione. Si tratta di provare che

$$p(A)=-A^3+5A^2-7A$$

è la matrice nulla.

Ora

$$A^2= \left( \begin{matrix} 1&0&1\\ -3&1&0\\ 0&1&3 \end{matrix... ...ight) =\left( \begin{matrix} 1&1&4\\ -6&1&-3\\ -3&4&9 \end{matrix} \right)$$

mentre

$$A^3= \left( \begin{matrix} 1&1&4\\ -6&1&-3\\ -3&4&9 \end{matr... ...\left( \begin{matrix} -2&5&13\\ -9&-2&-15\\ -15&13&24 \end{matrix} \right)$$

Risulta allora:

$$p(A)=-A^3+5A^2-7A =\left( \begin{matrix}2&-5&-13\\ 9&2&15\\ 15&-13&-24 \end{matrix} \right)+ \left( \begin{matrix}5&5&20\\ -30&5&-15\\ -15&20&45 \end{matrix} \right)$$

$$\;+ \left( \begin{matrix}-7&0&-7\\ 21&-7&0\\ 0&-7&-21 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix}0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{matrix} \right)$$

$\qedsymbol$

Esercizio 7   Calcolare il determinante delle seguenti matrici:

$$A = \left( \begin{matrix}3 & -2 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right) \qquad B = \left( \begin{matrix}1 & -2 \\ 3 & -6 \end{matrix} \right)$$

$$C = \left( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & -2 & 3 \\ 2 & 5 & -1 \end{matrix} \right)\qquad D = \left( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 3 & -2 & -4 \\ 4 & 1 & 3 \end{matrix} \right)$$

$$E = \left( \begin{matrix}2 & 0 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 4 & -3 & 7 \end{matrix} \right)\qquad F = \left( \begin{matrix}1 & 0 & -3 & 0 \\ 1 & -2 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -4 & 2 \end{matrix} \right).$$

Dimostrazione.

$$\dete(A) = \left\vert \begin{matrix}3& -2\\ 4&5 \end{matrix} \right\vert =15+8=21.$$

$$\dete(B) = \left\vert \begin{matrix}1& -2\\ 3&-6 \end{matrix} \right\vert =-6+6=0.$$

$$\dete(C) = \left\vert \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & -2 & 3 \\ 2 & 5 & -1 \end{matrix} \right\vert=2+60+12+12-15+8=79.$$

$$\dete(D) = \left\vert \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 3 & -2 & -4 \\ 4 & 1 & 3 \end{matrix} \right\vert= -6+4=-2.$$

$$\dete(E) = \left\vert \begin{matrix}2 & 0 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 4 & -3 & 7 \end{matrix} \right\vert=9+12=21.$$

Per calcolare il determinante della matrice $F$ facciamo lo sviluppo di Laplace lungo la prima riga.

$$\dete(F)= \left\vert \begin{matrix} 1 & 0 & -3 & 0 \\ 1 & -2 & ... ...vert \begin{matrix} 1&-2&3\\ 2&7&-1\\ 0&1&2 \end{matrix} \right\vert=-156.$$

$\qedsymbol$

Esercizio 8   Sia $A$ una matrice quadrata. Supponiamo che $A$ sia nilpotente, ovvero che esista un naturale $m$, con $m \geq 1$, tale che $A^m$ è la matrice nulla. Calcolare il determinante di $A$.

Dimostrazione. Per ipotesi esiste un naturale $m \geq 1$ tale che $A^m$ è uguale alla matrice nulla. Allora $\dete(A^m)=0$ e, d'altra parte, per il teorema di Binet, $\dete(A^m)=m \dete(A)$. Abbiamo allora

$$m \dete(A)=0 \qquad \textrm{con}\; m \geq 1,$$

da cui segue

$$\dete(A)=0.$$

$\qedsymbol$

Esercizio 9   Si calcoli il rango delle seguenti matrici, al variare del parametro reale $k$:

$$\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & 5 & 0 \\ 1 & ... ...x} 1 & k & 0 & 1 \\ k & 4 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right) .$$

Dimostrazione. Per calcolare il rango della matrice

$$\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & 5 & 0 \\ 1 & -3 & 5 & 2 \end{matrix}\right)$$

riduciamola a gradino. Una possibile riduzione, operando sulle righe, è

$$\left( \begin{matrix}1 & 2 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & 5 & 0 \\ 1 & -3 & ... ... & 5 & -5 & -3 \end{matrix}\right) \begin{matrix}\\ II-3I \\ I-III \end{matrix}$$

$$\leadsto \left( \begin{matrix}1 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & -5 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)\begin{matrix}\\ \\ II+III \end{matrix}$$

Il rango della matrice ridotta è uguale al numero di righe non identicamente nulle e pertanto è uguale, in questo caso, a $2$.

Per calcolare il rango della matrice

$$\left( \begin{matrix} k & -1 & 1 \\ 3 & -3 & 3k \\ 1 & -k & k \end{matrix} \right)$$

ne calcoliamo il determinante. Risulta

$$\left\vert \begin{matrix} k & -1 & 1 \\ 3 & -3 & 3k \\ 1 & -k & k \end{matrix} \right\vert=3(k-1)^2(k+1).$$

Per $k \neq \pm 1$ il determinante della matrice è non nullo e dunque il rango è uguale a $3$.
Se $k=-1$ la matrice diventa:

$$\left( \begin{matrix} -1 & -1 & 1 \\ 3 & -3 & -3 \\ 1 & 1 & -1 \end{matrix} \right)$$

Si vede facilmente che la prima e la terza riga sono proporzionali, mentre un minore non nullo di ordine $2$ è, per esempio:

$$\left\vert \begin{matrix} -1& -1\\ 3& -3 \end{matrix}\right\vert =3+3=6.$$

La matrice ha allora rango $2$.
Per $k=1$ la matrice diventa

$$\left( \begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 3 & -3 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{matrix} \right).$$

La seconda e la terza riga sono multiple della prima, ne segue che il rango della matrice è uguale a $1$.

Infine per calcolare il rango dell'ultima matrice riduciamola a gradino. Una possibile riduzione, operando sulle righe, è:

$$\left( \begin{matrix}1 & k & 0 & 1 \\ k & 4 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 ... ... & 4 & -k & 2-k \end{matrix}\right)\begin{matrix}\\ II-I \\ III-kI \end{matrix}$$

$$\leadsto \left( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & -k & 2-k \... ... & k^2-4 & k^2-2k \end{matrix}\right)\begin{matrix}\\ \\ 4III-kII. \end{matrix}$$

Per ogni valore di $k$ la prima e la seconda riga della matrice ridotta non sono mai identicamente nulle. La terza riga, invece, è identicamente nulla per $k=2$. Ne segue che il rango della matrice è $2$ per $k=2$ e $3$ per $k \neq 2$. $\qedsymbol$

Esercizio 10   Dire per quali valori del parametro reale $k$ la matrice

$$A= \left( \begin{matrix} k & k \\ 4 & 2k \end{matrix}\right)$$

è invertibile e determinare la sua inversa.

Dimostrazione. Una matrice quadrata è invertibile se e solo se il suo determinante è non nullo. Il determinante della matrice $A$ è uguale a

$$\dete(A)=2k(k-2)$$

sicchè per $k \neq 0,2$ la matrice $A$ è invertibile. Per determinare l'inversa consideriamo la trasposta di $A$:

$$A^t= \left( \begin{matrix} k & 4 \\ k & 2k \end{matrix}\right)$$

di cui calcoliamo la matrice dei cofattori :

$$\widehat{A}= \left( \begin{matrix} 2k & -k \\ -4 & k \end{matrix}\right).$$

Risulta allora:

$$A^{-1}=\frac{1}{ \dete(A)} \widehat{A}= \left( \begin{matrix} \fr... ...(k-2)} \\ & \\ -\frac{2}{k(k-2)} & \frac{1}{2(k-2)} \end{matrix}\right).$$

$\qedsymbol$

Esercizio 11   Dire per quali valori del parametro reale $t$ la matrice

$$A= \left( \begin{matrix} t-1 & 3 & -3 \\ -3 & t+5 & -3 \\ -6 & 6 & t-4 \end{matrix}\right)$$

è invertibile e determinare la sua inversa.

Dimostrazione. Una matrice quadrata è invertibile se e solo se il suo determinante è non nullo. Il determinante della matrice $A$ è uguale a

$$\dete(A)=(t-4)(t+2)^2$$

sicchè per $t \neq -2,4$ la matrice $A$ è invertibile. Per determinare l'inversa consideriamo la trasposta di $A$:

$$A^t= \left( \begin{matrix} t-1 & -3 & -6 \\ 3 & t+5 & 6 \\ -3 & -3 & t-4 \end{matrix}\right).$$

La matrice dei cofattori è

$$\widehat{A}= \left( \begin{matrix} t^2+t-2 & -3t-6 & 3t+6 \\ 3t+6 & t^2-5t-14 & 3t+6 \\ 6t+12 & -6t-12 & t^2+4t+4 \end{matrix}\right)$$

sicchè

$$A^{-1}=\frac{1}{ \dete(A)} \widehat{A}.$$

$\qedsymbol$

Esercizio 12   Siano $A$, $B$, $C$ matrici reali $n \times n$. L'uguaglianza

$$AB=AC$$

implica che $B=C$?

Dimostrazione. L'uguaglianza

$$AB=AC$$

non implica che sia $B=C$. Infatti basta prendere $B$ e $C$ due matrici $n \times n$ distinte e $A$ la matrice nulla.

Se però $A$ è non singolare allora $A$ è invertibile. Moltiplicando l'uguaglianza $AB=AC$ per $A^{-1}$ a sinistra si trova

$$B=(A^{-1}A)B=A^{-1}(AB)=A^{-1}(AC)=(A^{-1}A)C=C.$$

$\qedsymbol$

Esercizio 13   Siano $A$ e $B$ matrici reali $n \times n$ e sia $A$ invertibile. La matrice prodotto $AB$ è invertibile?

Dimostrazione. La matrice $AB$ in generale non è invertibile. Infatti se $B$ è la matrice nulla anche $AB$ è la matrice nulla.

Se però anche $B$ è invertibile allora

$$\dete(AB)= \dete(A) \cdot \dete(B) \neq 0.$$

La matrice $AB$ è non singolare e dunque invertibile. Risulta inoltre:

$$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.$$

$\qedsymbol$

Esercizio 14   Determinare, se possibile, l'inversa della matrice

$$A=\left ( \begin{matrix} 1&1&1\\ 2&-3&1\\ 1&-4&2 \end{matrix}\right ).$$

Dimostrazione. Risulta $\dete(A)=-12 \neq 0$ dunque la matrice $A$ è invertibile .

Per determinare l'inversa di $A$ consideriamo la matrice che si ottiene accostando ad $A$ la matrice identica:

$$B=\left ( \begin{matrix} 1&1&1&1&0&0\\ 2&-3&1&0&1&0\\ 1&-4&2&0&0&1 \end{matrix}\right ).$$

Operando sulle righe di $B$ tramite operazioni elementari vogliamo ottenere una matrice della forma

$$\left( \begin{matrix} 1&0&0&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ 0&1&0&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ 0&0&1&a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{matrix}\right).$$

Si ha

$$\left ( \begin{matrix}1&1&1&1&0&0\\ 2&-3&1&0&1&0\\ 1&-4&2&0&0&1 \... ...rix}1&1&1&1&0&0\\ 0&-5&-1&-2&1&0\\ 0&5&-1&1&0&-1 \end{matrix} \right ) \leadsto$$

$$\left ( \begin{matrix}1&1&1&1&0&0\\ 0&-5&-1&-2&1&0\\ 0&0&-2&-1&1&... ...ix}5&0&4&3&1&0\\ 0&10&0&3&-1&-1\\ 0&0&-2&-1&1&-1 \end{matrix} \right ) \leadsto$$

$$\left ( \begin{matrix}5&0&0&1&3&-2\\ 0&10&0&3&-1&-1\\ 0&0&-2&-1&1... ...rac{1}{10}\\ 0&0&1&\frac{1}{2}&- \frac{1}{2}&\frac{1}{2} \end{matrix} \right ).$$

La matrice

$$M=\left( \begin{matrix} \frac{1}{5}&\frac{3}{5}&- \frac{2}{5}\\ ... ...&- \frac{1}{10}\\ \frac{1}{2}&- \frac{1}{2}&\frac{1}{2} \end{matrix}\right )$$

è l'inversa della matrice $A$. $\qedsymbol$