next up previous contents
Next: Diagonalizzazione di endomorfismi Up: Esercizi Previous: Applicazioni lineari   Indice

Geometria affine e metrica

Esercizio 54   Determinare un'equazione parametrica e un'equazione cartesiana delle seguenti rette:
$ r$: passante per i punti $ P_1 = (1,0,2)$ e $ P_2 = (-1,2,0)$,
$ s$: parallela alla retta $ r$ e passante per il punto $ O = (0,0,0)$.

Dimostrazione. Se $ P=(p_1,p_2,p_3)$ e $ Q=(q_1,q_2,q_3)$ sono due punti distinti dello spazio, le equazioni:

\begin{displaymath}
\begin{cases}
x&=p_1+t(q_1-p_1)\\
y&=p_2+t(q_2-p_2)\\
z&=p_3+t(q_3-p_3), \quad t \in R,
\end{cases}\end{displaymath}

sono equazioni parametriche della retta passante per $ P$ e $ Q$.

Nel nostro caso diventano

$\displaystyle r: \begin{cases}
x&=1-2t\\
y&=2t\\
z&=2-2t, \quad t \in R.
\end{cases}$

Una retta dello spazio ammette rappresentazione cartesiana come intersezione di due piani. Le equazioni cartesiane si ottengono da quelle parametriche eliminando il parametro.

Nel caso considerato sostituendo l'equazione $ 2t=y$ in $ x=1-2t$ e $ z=2-2t$ si ottiene:

$\displaystyle r: \begin{cases}
x+y=1\\
y+z=2.
\end{cases}$

La retta $ s$ è parallela al vettore $ P_1P_2=(-2,2,-2)$ e passa per l'origine.

L'equazione

$\displaystyle P=O+ \lambda P_1P_2
$

dove $ P=(x,y,z)$ è un generico punto della retta $ s$ e $ \lambda \in R$, è una rappresentazione parametrica vettoriale di $ s$.

L'equazione vettoriale equivale alle equazioni parametriche scalari

$\displaystyle s: \begin{cases}
x&=-2 \lambda\\
y&=2 \lambda\\
z&=-2 \lambda , \quad \lambda \in R.
\end{cases}$

Eliminando il parametro si trovano le equazioni cartesiane di $ s$:

$\displaystyle s: \begin{cases}
x+y=0\\
y+z=0.
\end{cases}$

$ \qedsymbol$

Esercizio 55   Determinare un'equazione parametrica della retta di equazioni cartesiane:

\begin{displaymath}
\begin{cases}
2x-z+4=0 \\
x- y+2z-1=0
\end{cases}\end{displaymath}

Dimostrazione. Data una retta con equazioni cartesiane

$\displaystyle r: \begin{cases}
a_1x+a_2y+a_3z=c_1\\
b_1x+b_2y+b_3z=c_2
\end{cases}$

siano

$\displaystyle l= \dete \left [
\begin{matrix}
a_2&a_3\\
b_2&b_3
\end{matrix}\...
...uad
n= \dete \left [
\begin{matrix}
a_1&a_2\\
b_1&b_2
\end{matrix}\right ].
$

Il vettore $ (l,m,n)$ è allora un vettore direttore della retta $ r$.

Nel nostro caso risulta $ (l,m,n)=(-1,-5,-2)$. Inoltre le equazioni cartesiane di $ r$ si possono riscrivere come

\begin{displaymath}
\begin{cases}
z&=2x+4 \\
y&=x+2z-1= 5x+7,
\end{cases}\end{displaymath}

sicchè attribuendo un valore arbitrario ad $ x$, ad esempio 0, si ottengono le coordinate di un punto della retta. Con la scelta fatta si trova $ (0,7,4)$.

Infine le equazioni

\begin{displaymath}
\begin{cases}
x&=-t\\
y&=7-5t\\
z&=4-2t, \quad t \in R,
\end{cases}\end{displaymath}

sono equazioni parametriche della retta $ r$. $ \qedsymbol$

Esercizio 56   Determinare un'equazione parametrica e un'equazione cartesiana della retta passante per il punto $ P = (0,1,2)$ e di vettore direttore $ v=(2,2,-1)$.

Dimostrazione. Una rappresentazione parametrica della retta per $ P$ avente vettore direttore $ v$ è:

\begin{displaymath}
\begin{cases}
x&=2t\\
y&=1+2t\\
z&=2-t, \quad t \in R.
\end{cases}\end{displaymath}

Eliminando il parametro otteniamo le equazioni cartesiane:

\begin{displaymath}
\begin{cases}
x+2z=4 \\
y+2z=5.
\end{cases}\end{displaymath}

$ \qedsymbol$

Esercizio 57   Determinare un'equazione (parametrica o cartesiana ) del piano passante per i tre punti $ P_1 = (0,1,0)$, $ P_2 = (-1, 1, 0)$ e $ P_3 =(0,0,2)$.

Dimostrazione. Le equazioni parametriche del piano pasante per i tre punti $ P=(p_1,p_2,p_3)$, $ Q=(q_1,q_2,q_3)$ e $ R=(r_1,r_2,r_3)$ sono

\begin{displaymath}
\begin{cases}
x&=p_1+t(q_1-p_1)+s(r_1-p_1)\\
y&=p_2+t(q_2-...
...\\
z&=p_3+t(q_3-p_3)+s(r_3-p_3), \quad t,s \in R.
\end{cases}\end{displaymath}

Nel nostro caso diventano

\begin{displaymath}
\begin{cases}
x&=-t\\
y&=1-s\\
z&=2s, \quad t,s \in R.
\end{cases}\end{displaymath}

Eliminando i parametri si ottiene una equazione cartesiana del piano:

$\displaystyle 2y+z=2.
$

$ \qedsymbol$

Esercizio 58   Determinare un'equazione parametrica e un'equazione cartesiana dei seguenti piani:

$ \pi_1$: passante per $ P_1 = (1,1,1)$ e contenente la retta

$\displaystyle r: \begin{cases}
x = 1+2t \\
y = -1 +t \\
z = -t
\end{cases}$

$ \pi_2$: passante per i tre punti $ P_1 = (1,0,0)$, $ P_2 = (2, -1, -3)$ e $ P_3 =(0,2,1)$.

Dimostrazione. Per determinare un'equazione cartesiana dal piano $ \pi_1$ consideriamo il fascio di piani di centro la retta $ r$ e imponiamo il passaggio per il punto $ P_1$.

La retta $ r$ ha equazioni cartesiane:

\begin{displaymath}
\begin{cases}
x+2z-1=0\\
y+z+1=0,
\end{cases}\end{displaymath}

e il generico piano del fascio di centro $ r$ ha equazione

$\displaystyle a(x+2z-1)+b(y+z+1)=0
$

con $ a$ e $ b$ in $ R$ non entrambi nulli.

Affinchè un piano del fascio passi per $ P_1$ deve essere

$\displaystyle 2a+3b=0
$

da cui

$\displaystyle a=-3 \quad b=2.
$

L'equazione cartesiana del piano $ \pi_1$ è allora

$\displaystyle \pi_1: 3x-2y+4z=5.
$

Per determinare una equazione parametrica di $ \pi_1$ calcoliamo le coordinate di due punti distinti della retta $ r$. Per $ t=0$ troviamo il punto $ P_2=(1,-1,0)$ e per $ t=-1$ il punto $ P_3=(-1,-2,1)$.

Allora $ \pi_1$ è determinato dal passaggio per $ P_1$, $ P_2$ e $ P_3$ e quindi:

\begin{displaymath}
\begin{cases}
x&=1- 2 \mu \\
y&=1-2 \lambda -3 \mu\\
z&=1- \lambda, \quad \lambda, \mu \in R.
\end{cases}\end{displaymath}

Un'equazione parametrica di $ \pi_2$ è

$\displaystyle \pi_2: \begin{cases}
x&=1+t-s\\
y&=-t+2s\\
z&=-3t+s, \quad s,t \in R.
\end{cases}$

Dalle prime due equazioni si ottiene

\begin{displaymath}
\begin{cases}
t=y+2x-2\\
s=x+y-1
\end{cases}\end{displaymath}

che, sostituite nella terza, forniscono

$\displaystyle \pi_2: 5x+2y+z=5.
$

$ \qedsymbol$

Esercizio 59   Determinare i valori del parametro reale $ k$ per i quali le rette

  $\displaystyle r: x+ky-2=0$    
  $\displaystyle s: 2x-ky+k=0$    

sono incidenti, parallele o coincidenti.

Dimostrazione. Studiamo le soluzioni del sistema

\begin{displaymath}
\begin{cases}
x+ky=2\\
2x-ky=-k.
\end{cases}\end{displaymath}

La matrice dei coefficienti ha determinante $ -3k$ dunque per $ k \neq 0$ il sistema ammette una e una sola soluzione. Segue che in questo caso le due rette sono incidenti.

Per $ k=0$ le rette hanno equazione:

  $\displaystyle r: x=2$    
  $\displaystyle s: x=0$    

da cui si vede facilmente che le due rette sono parallele (e distinte). $ \qedsymbol$

Esercizio 60   Dati i tre punti $ P_1 = (1,0,2)$, $ P_2 = (2,1,-1)$ e $ P_3 = (0,1,1)$ e la retta

$\displaystyle r: \begin{cases}
x+y-z =2 \\
2x +3y = 7
\end{cases}$

Determinare:
  1. un'equazione cartesiana e l'equazione parametrica del piano $ \pi$ passante per $ P_1$, $ P_2$ e $ P_3$.
  2. se $ r$ e $ \pi$ sono incidenti, e in tale caso trovare il loro punto di intersezione.

Dimostrazione. Il piano $ \pi$ ha equazione parametrica

\begin{displaymath}
\begin{cases}
x&=1+t-s\\
y&=t+s\\
z&=2-3t-s, \quad s,t \in R,
\end{cases}\end{displaymath}

e equazione cartesiana

$\displaystyle \pi: x+2y+z=3.
$

Per determinare se $ \pi$ ed $ r$ sono incidenti guardiamo alle soluzioni del sistema

\begin{displaymath}
\begin{cases}
x+2y+z=3\\
x+y-z =2 \\
2x +3y = 7.
\end{cases}\end{displaymath}

La matrice completa associata al sistema è:

$\displaystyle \left(
\begin{matrix}
1&2&1&3\\
1&1&-1&2\\
2&3&0&7
\end{matrix}\right)
$

che, ridotta a gradino, diventa

$\displaystyle \left(
\begin{matrix}
1&2&1&3\\
0&1&2&1\\
0&0&0&2
\end{matrix}\right).
$

Segue che il sistema non ha soluzioni dunque la retta è parallela al piano e non è contenuta in esso. $ \qedsymbol$

Esercizio 61   Dato il piano $ \pi: -y+z+3=0$ determinare la retta parallela all'asse $ x$ e giacente su $ \pi$.

Dimostrazione. L'asse delle $ x$ ha equazione cartesiana

\begin{displaymath}
\begin{cases}
y=0\\
z=0.
\end{cases}\end{displaymath}

Il fascio di piani per l'asse delle $ x$ ha equazione

$\displaystyle ay+bz=0
$

per $ a$ e $ b$ in $ R$ non entrambi nulli.

La retta cercata si determina come intersezione tra il piano $ \pi$ e il piano del fascio ortogonale a $ \pi$. Quest'ultimo è determinato dalla condizione

$\displaystyle b-a=0 \quad \textrm{ovvero} \quad a=b,
$

dunque ha equazione

$\displaystyle y+z=0.
$

La retta cercata è allora

\begin{displaymath}
\begin{cases}
y+z=0\\
-y+z+3=0.
\end{cases}\end{displaymath}

$ \qedsymbol$

Esercizio 62   Determinare i valori del parametro reale $ k$ per i quali la retta $ r$ di equazioni:

$\displaystyle r: \begin{cases}
x = kt \\
y = -kt+2 \\
z = 0
\end{cases}$

è ortogonale o parallela al piano, $ \pi$, di equazione

$\displaystyle \pi:\; 3x-y+z+1=0.
$

Dimostrazione. La retta $ r$ ha vettore direttore il vettore $ (k,-k,0)$ dunque è ortogonale al piano $ \pi$ se e solo se $ (k,-k,0)$ è un multiplo non nullo del vettore $ (3,-1,1)$.

D'altra parte $ (-k,k,0)= \rho (3,-1,1)$ se e solo se $ \rho=0$ quindi non esiste alcun valore di $ k$ per il quale $ r$ è ortogonale a $ \pi$.

La retta $ r$ è invece parallela a $ \pi$ se e solo se

$\displaystyle (k,-k,0) \cdot (3,-1,1)=4k=0
$

ovvero se e solo se $ k=0$. D'altra parte per $ k=0$ l'equazione di $ r$ si riduce ad un punto sicchè questo valore non è accettabile. $ \qedsymbol$

Esercizio 63   Determinare la proiezione ortogonale $ s$ della retta di equazioni

$\displaystyle r: \begin{cases}
-x-y+z+1 =0 \\
2x -z-2 = 0
\end{cases}$

sul piano $ \pi$ di equazione $ 3x+y-z-1=0$.

Dimostrazione. Il fascio di piani per $ r$ ha equazione

$\displaystyle a(-x-y+z+1)+b(2x -z-2)=0, \qquad a,b \in R,
$

ovvero

$\displaystyle (2b-a)x-ay+(a-b)z+a-2b=0, \qquad a,b \in R.
$

Il piano $ \pi_1$ del fascio ortogonale a $ \pi$ si determina tramite la condizione

$\displaystyle (2b-a,-a,a-b) \cdot (3,1,-1)=0.
$

Si ottiene allora

$\displaystyle 7b-5a=0 \quad \textrm{cio\\lq e} \quad a=7, \; b=5.
$

Il piano $ \pi_1$ ha dunque equazione

$\displaystyle 3x-7y+2z=3.
$

La proiezione ortogonale $ s$ di $ r$ su $ \pi$ si ottiene come intersezione dei piani $ \pi$ e $ \pi_1$:

\begin{displaymath}
\begin{cases}
3x+y-z-1=0\\
3x-7y+2z=3.
\end{cases}\end{displaymath}

$ \qedsymbol$

Esercizio 64   Fra tutti i piani passanti per la retta $ r$ di equazioni:

$\displaystyle r: \begin{cases}
x-y+1 =0 \\
x+y -z = 0
\end{cases}$

determinare quelli ortogonali al piano $ \gamma:\; x+y+z-4=0$ e quelli ortogonali all'asse $ y$.

Dimostrazione. Il fascio di piani per $ r$ ha equazione

$\displaystyle a(x-y+1)+b(x+y -z)=0, \qquad a,b \in R,
$

ovvero

$\displaystyle (a+b)x+(b-a)y-bz+a=0, \qquad a,b \in R.
$

Un piano del fascio è ortogonale a $ \gamma$ se e solo se

$\displaystyle (a+b,b-a,-b) \cdot (1,1,1)=0.
$

Si ottiene allora che $ b=0$ e dunque il piano

$\displaystyle \pi: x-y+1=0
$

è ortogonale a $ \gamma$.

Inoltre un piano del fascio per $ r$ è ortogonale all'asse delle $ y$ se e solo se il vettore $ (a+b,b-a,-b) $ è un multiplo non nullo del vettore $ (0,1,0)$. D'altra parte

$\displaystyle (a+b,b-a,-b)= \rho (0,1,0)
$

se e solo se $ \rho=0=a=b$ dunque nessun piano del fascio è ortogonale all'asse $ y$. $ \qedsymbol$

Esercizio 65   Determinare gli angoli formati dalle rette di equazioni parametriche:

$\displaystyle r: \begin{cases}
x = -3t \\
y = -t-1 \\
z = t+1
\end{cases} \qquad
r': \begin{cases}
x = 2 \\
y = 2s-2 \\
z = s+1.
\end{cases}$

Dimostrazione. La retta $ r$ ha vettore direttore $ (-3,-1,1)$ mentre la retta $ s$ ha vettore direttore $ (0,2,1)$.

Il coseno dell'angolo formato dalle due rette è

$\displaystyle \cos \widehat{rs}= \frac{(-3,-1,1) \cdot (0,2,1)}{ \vert\vert (-3,-1,1)\vert\vert \cdot \vert\vert(0,2,1)\vert\vert}
= - \frac{1}{\sqrt{55}}.
$

Segue che

$\displaystyle \widehat{rs}= \arccos (- \frac{1}{\sqrt{55}}).
$

$ \qedsymbol$

Esercizio 66   Determinare, al variare del parametro reale $ k$, la posizione reciproca delle rette:

$\displaystyle r: \begin{cases}
x +ky-2z=0 \\
x+ y+z-k = 0
\end{cases} \qquad
r': \begin{cases}
x+y-2z=0 \\
-x+ky-2 =0.
\end{cases}$

Dimostrazione. Si tratta di risolvere il sistema

\begin{displaymath}
\begin{cases}
x +ky-2z=0 \\
x+ y+z-k = 0 \\
x+y-2z=0 \\
-x+ky-2 =0.
\end{cases}\end{displaymath}

La matrice completa associata al sistema è la matrice

$\displaystyle \left(
\begin{matrix}
1&1&-2&0\\
1&1&1&k\\
-1&k&0&2\\
1&k&-2&0
\end{matrix}\right).
$

Riducendola, parzialmente a gradino si trova

$\displaystyle \left(
\begin{matrix}
1&1&-2&0\\
1&1&1&k\\
-1&k&0&2\\
1&k&-...
...matrix}
1&1&-2&0\\
0&k+1&-2&2\\
0&k-1&0&0\\
0&0&3&k
\end{matrix}\right).
$

Per $ k=1$ otteniamo

$\displaystyle \left(
\begin{matrix}
1&1&-2&0\\
0&2&-2&2\\
0&0&0&0\\
0&0&3&1
\end{matrix}\right),
$

e, poichè le matrici incompleta e completa hanno entrambe rango $ 3$, il sistema ammette una e una sola soluzione. Segue che in questo caso le rette sono incidenti.

Per $ k \neq 1$ possiamo ultimare la riduzione a gradino

  $\displaystyle \left( \begin{matrix}1&1&-2&0\\ 0&k-1&0&0\\ 0&k+1&-2&2\\ 0&0&3&k ...
...{matrix}1&1&-2&0\\ 0&1&0&0\\ 0&k+1&-2&2\\ 0&0&3&k \end{matrix} \right) \leadsto$    
  $\displaystyle \left( \begin{matrix}1&1&-2&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-2&2\\ 0&0&3&k \end...
...begin{matrix}1&1&-2&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-2&2 \\ 0&0&0&k+3\\ \end{matrix} \right).$    

Per $ k \neq -3$ la matrice completa ha rango $ 4$ e le due rette sono sghembe.

Per $ k=-3$ la matrice completa diventa

$\displaystyle \left(
\begin{matrix}
1&1&-2&0\\
0&1&0&0\\
0&0&-2&2\\
0&0&0&0
\end{matrix}\right),
$

e, di nuovo, le rette sono incidenti. $ \qedsymbol$

Esercizio 67   Date le rette

$\displaystyle r: \begin{cases}
x +2y+5z=5 \\
x+z-1 = 0
\end{cases} \qquad
s: \begin{cases}
x+2z=3 \\
y+z =3.
\end{cases}$

calcolare la distanza tra $ r$ ed $ s$.

Dimostrazione. L'equazione di $ r$ si può riscrivere come

\begin{displaymath}
\begin{cases}
x&=1-z\\
y&=2-2z,
\end{cases}\end{displaymath}

da cui, scegliendo per esempio $ z=0$, si trova che il punto $ P=(1,2,0)$ appartiene ad $ r$.

Consideriamo ora il fascio di piani per $ s$:

$\displaystyle a(x+2z-3)+b(y+z-3)=0, \qquad a,b \in R,
$

ovvero

$\displaystyle ax+by+(2a+b)z-3a-3b=0, \qquad a,b \in R.
$

Determiniamo il piano del fascio parallelo ad $ r$. La retta $ r$ ha vettore direttore $ (2,4,-2)$ dunque imponiamo la condizione

$\displaystyle (a,b,2a+b) \cdot (2,4,-2)=0.
$

Si ottiene che deve essere $ a=b$ e dunque il piano

$\displaystyle \pi: x+y+3z=6
$

contiene $ s$ ed è parallelo ad $ r$.

Allora

$\displaystyle d(r,s)=d(P, \pi)= \frac{ \vert 1+2-6\vert}{\sqrt{9+1+1}}= \frac{3}{\sqrt{11}}.
$

$ \qedsymbol$

Esercizio 68   In $ R^2$ siano $ y=(y_1,y_2)$ e $ x=(x_1,x_2)$. Verificare se l'applicazione

$\displaystyle \cdot : R^2 \times R^2 \rightarrow R
$

definita da

$\displaystyle y \cdot x=2x_1y_1+3x_2y_2
$

è un prodotto scalare.

Dimostrazione. Risulta

  $\displaystyle (a_1,a_2) \cdot (b_1,b_2)=2a_1b_1+3a_2b_2=(b_1,b_2)\cdot(a_1,a_2),$    
  $\displaystyle (a_1,a_2) \cdot (a_1,a_2)=2a^2_1+3a^2_2 \geq 0,$    
  $\displaystyle (a_1,a_2) \cdot (a_1,a_2)=0 \iff 2a^2_1+3a^2_2=0 \iff a_1=0, a_2=0$    

e

$\displaystyle ( \lambda (a_1,a_2)+(b_1,b_2)) \cdot (c_1,c_2)$ $\displaystyle = 2(\lambda a_1+b_1)c_1+ 3(\lambda a_2+b_2)c_2$    
  $\displaystyle =\lambda (2a_1c_1+ 3a_2c_2)+2b_1c_1+ 3b_2c_2$    
  $\displaystyle =\lambda(a_1,a_2)\cdot (c_1,c_2) + (b_1,b_2)\cdot (c_1,c_2),$    

per ogni $ (a_1,a_2), (b_1,b_2)$ e $ (c_1,c_2)$ in $ R^2$ e per ogni $ \lambda \in R$. $ \qedsymbol$


next up previous contents
Next: Diagonalizzazione di endomorfismi Up: Esercizi Previous: Applicazioni lineari   Indice
Andreatta Marco
2000-09-18