TITOLO. Strani attrattori.

DESCRIZIONE DELL'ARGOMENTO. Da un punto di vista teorico, ma anche e soprattutto da un punto di vista applicativo, dato un sistema di equazioni differenziali ordinarie, e’ molto importante lo studio del comportamento delle traiettorie quando il tempo va a +infinito (si dice anche “comportamento asintotico” o “comportamento per tempi grandi”). In particolare le domande che ci si possono porre sono, per esempio: le traiettorie hanno un comportamento stabile rispetto alle condizioni iniziali e/o altri parametri presenti nell’equazioni?, le traiettorie convergono da qualche parte?, tendono ad un comportamento periodico? E’ evidente l’importanza di tali domande (e di altre) nelle scienze applicate, dalla fisica, all’ingegneria, dalla biologia alla meccanica celeste.

In questo ambito ha molta importanza la definizione di “attrattore”. Un attrattore e’ un sottoinsieme A dello spazio delle fasi (Rn) che ha le seguenti tre proprieta’: 1) e’ invariante per le traiettorie, cioe’ ogni traiettoria che parte da A rimane in A per tutti i tempi; 2) attrae tutte le traiettorie che partono da un suo opportuno intorno, cioe’ esiste un aperto U contente A tale che ogni traiettoria che parte da un punto di U tende all’insieme A quando il tempo tende all’infinito; 3) A e’ minimale, cioe’ non ci sono sottoinsiemi propri di A che abbiano le proprieta’ 1) e 2). Un attrattore si dice “strano” se e’ particolarmente sensibile alle condizioni iniziali. Tipicamente questa sua “stranezza” si concretizza in una complicata geometria (dimensione frattale) e/o in un comportamento “caotico” delle soluzioni per tempi grandi.

Un famoso esempio di strano attrattore e’ quello detto “attrattore di Lorenz” che e’ l’attrattore di un sistema autonomo in R3 molto semplice, addirittura polinomiale (le dinamiche sono al piu' polinomi di secondo grado, con al piu' un solo termine non lineare). Eppure l’attrattore e’ molto strano! clikka.

TIPO DI LAVORO RICHIESTO ED OBIETTIVI. leggere parti di alcuni testi
introduttivi all'argomento o ad alcuni aspetti di esso, comprenderli bene,
saperli rielaborare e raccontare esaurientemente.

REQUISITI. Calcolo differenziale ed integrale per funzioni di piu' variabili, teoria delle equazioni differenziali ordinarie.