TITOLO. Problemi di controllabilita': relazione tra la condizione di Kalman per la controllabilita' dei sistemi lineari di equazioni differenziali ordinarie e la condizione di Hormander sull'algebra di Lie generata da un campo di vettori.

DESCRIZIONE DELL'ARGOMENTO. Un problema di controllabilita' per un sistema lineare del tipo
y'(t)=Ay(t)+Bu(t), y(0)=x,
dove y(.) e' la traiettoria in Rn, A e B sono matrici e u(.) e' il controllo a nostra disposizione, consiste nel determinare un controllo u(.) tale che la traiettoria y(.) corrispondente raggiunga un insieme "target" T fissato, in tempo finito. Ad esempio, se y(.) in R2 rappresenta lo stato del moto di un treno (cioe' la coppia (posizione, velocita')) e se il target e' l'origine (0,0) di R2, allora raggiungere il target significa trovare un'opportuna strategia u(.) (che puo' rappresentare la strategia di accelerazione e di frenata) in modo da raggiungere la posizione p=0 con velocita' v=0, cioe' fermandosi. In generale, l'insieme dei punti x da cui, con un opportuno controllo, e' possibile raggiungere il target si dice "insieme controllabile", e si denota con C. Da un punto di vista delle applicazioni e' importante sapere se C e' aperto oppure no. Una condizione necessaria e sufficiente perche' C sia aperto e' la cosiddetta condizione di Kalman che coinvolge le matrici A e B. Tale condizione assomiglia molto alla condizione di Hormander sulla dimensione dell'algebra di Lie generata da un campo di vettori su di una varieta'. Effettivamente c'e' una relazione stretta tra le due condizioni, ma non sembra essere del tutto ovvio come evidenziarla e formularla.

TIPO DI LAVORO RICHIESTO ED OBIETTIVI. Leggere e comprendere testi concernenti (separatamente) la condizione di Kalman e la condizione di Hormander. Illustrare per iscritto (con dimostrazioni, deduzioni logiche, esempi e controesempi) la relazione che intercorre tra le due condizioni.

REQUISITI. Problema di Cauchy per sistemi di equazioni ordinarie del primo
ordine, calcolo differenziale per funzioni di piu' variabili, algebra delle matrici, cenni sulle
funzioni misurabili.

LINK. Visitare la pagina di informazioni sul corso "Teoria del Controllo" da me tenuto negli anni 2005/2006, 2006/2007 e 2008/2009 e che si terra' nel secondo semestre 2010/2011.