TITOLO DEL SEMINARIO. Abbondanza delle funzioni lisce.

DESCRIZIONE DELL'ARGOMENTO. Si è interessati al seguente problema: dato un sottoinsieme chiuso F di Rn, esiste una funzione u da Rn in R, che sia derivabile infinite volte (ovvero liscia) e che si annulli esattamente su F (cioè che u(x)=0 se e soltanto se x sta in F)?

Come si vedrà, la risposta è sì: una tale funzione esiste.

La cosa è abbastanza sorprendente. Infatti, parlando non troppo rigorosamente, una funzione liscia ha un grafico liscio, cioè privo di qualunque parvenza di spigoli (non solo il grafico della funzione non ha spigoli, ma nemmeno il grafico di qualunque sua derivata). Ebbene, se pensiamo ad un quadrato in R2, ma anche a qualche situazione ben peggiore (cioè a figure geometriche ben più "spigolose" del quadrato), esiste comunque una funzione da R2 in R, liscia che vale zero solamente nei punti del quadrato: appena fuori dal quadrato il suo grafico subito si alza dal livello zero, e questo viene fatto senza formare alcuno spigolo (nè lei nè qualunque delle sue derivate).

Una conseguenza immediata di questo risultato è il ben noto Lemma di Urysohn, che dice che dati due chiusi disgiunti F e G in Rn, esiste una funzione liscia i cui valori sono compresi tra 0 e 1, e che vale esattamente zero su F e 1 su G.

TIPO DI LAVORO RICHIESTO ED OBIETTIVI. Leggere parti di alcuni testi relativi all'argomento, comprenderli bene, saperli rielaborare (per iscritto) e raccontare esaurientemente.

REQUISITI. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili, convergenza di serie di funzioni.

VALENZA IN CREDITI: da 2 a 3.