TITOLO. Un’introduzione alla teoria dei giochi.

DESCRIZIONE DELL’ARGOMENTO. Cominciamo con un esempio. Due fidanzati, Xavier (X) e Yvonne (Y), decidono di passare la serata insieme e hanno due possibili scelte: andare a vedere un incontro di pugilato (P) o andare a vedere uno spettacolo di balletto (B).

Xavier vorrebbe andare a vedere l’incontro di pugilato ma, piuttosto che star da solo, gli va bene anche andare a vedere lo spettacolo di balletto. Yvonne vorrebbe andare a vedere lo spettacolo di balletto ma, piuttosto che star da sola, le va bene anche l’incontro di pugilato.

Essi non possono comunicare tra loro, l’unica informazione che condividono è quella che ognuno dei due, indipendentemente e all’insaputa dell’altro, si troverà alle 20:00 davanti al palasport oppure davanti al teatro. Quali scelte devono fare Xavier e Yvonne, rispettivamente, per ottimizzare la loro serata? Presentarsi al palasport per il Pugilato o presentarsi al teatro per il Balletto?

Vediamo di formalizzare questo problema. Indichiamo con una coppia ordinata le due possibili scelte di X e di Y rispettivamente (il primo elemento è la scelta di X, il secondo è quella di Y). Sia per X che per Y le possibili scelte sono rappresentate dagli elementi dell’insieme

S={P,B},

e le possibili coppie di scelte sono pertanto

(P,P), (P,B), (B,P), (B,B),

gli elementi di S×S. A ciascuna coppia X e Y associano un loro grado di soddisfazione, che indichiamo con x e y rispettivamente. Per X, la coppia più soddisfacente è (P,P) e quindi ad essa associamo, per esempio, x(P,P)=2. Anche la coppia (B,B) non è male per X, anche se non ai livelli di (P,P); ad essa associamo quindi x(B,B)=1. Le coppie (P,B) e (B,P) significano invece “serata da solo” e quindi ad esse associamo x(P,B),x(B,P)=0. Abbiamo quindi definito una “funzione utilità” per X, che è funzione delle possibile scelte di ambedue i contraenti:

x(P,P)=2, x(B,B)=1, x(P,B)=0, x(B,P)=0.

Allo stesso modo si definisce la funzione utilità per Y:

y(P,P)=1, y(B,B)=2, y(P,B)=0, y(B,P)=0.

Lo scopo di questo gioco (noto come “guerra dei sessi”) è quello che X e Y devono (indipendentemente) adottare una scelta che massimizzi la loro funzione utilità. Mettiamoci nei panni di Xavier. Lui non sa cosa sceglierà Yvonne, però può fare il seguente ragionamento: “se scelgo P, allora se Yvonne sceglie P guadagno 2, se Yvonne sceglie B guadagno 0; d’altro canto se scelgo B, allora se Yvonne sceglie P guadagno 0 mentre se Yvonne sceglie B guadagno 1. Quindi se scelgo P posso guadagnare 2 o 0, se scelgo B posso guadagnare solo 1 o 0. Io scelgo P !” Per un ragionamento del tutto analogo Yvonne dice “io scelgo B !”. Esce quindi la coppia (P,B) e ambedue passano la serata da soli!

Il ragionamento fatto separatamente da X e da Y, sopra descritto, non fa una piega: ambedue hanno cercato di massimizzare il loro individuale tornaconto, all’oscuro del comportamento del partner. Ma hanno perso entrambi ! Era possibile invece che sia X che Y adottassero una scelta che potesse essere soddisfacente per entrambi? A guardar bene le uniche coppie in un qualche modo soddisfacenti per entrambi sono (P,P) e (B,B), ma per poter “giocare” una di queste coppie è necessario un accordo tra X e Y, in quanto per ciascuna delle coppie uno dei due giocatori “qualcosa ci rimette”: X e Y avrebbero dovuto cooperare. Ma anche se si fossero telefonati, chi dei due avrebbe dovuto cedere? L’unica possibilità, mantenendo la non cooperazione, è che Xavier o Yvonne (più facilmente Yvonne…) sapendo dell’ottusa passione del partner per il pugilato o per il balletto rispettivamente e che mai il partner avrebbe fatto una scelta diversa, decidesse di sua sponte di fare la scelta come quella del partner. Ma in questo caso è quindi necessaria un’informazione in più da parte di uno dei due giocatori: “so che l’altro giocatore farà sempre il ragionamento di massimizzare il proprio tornaconto”.

Insomma, nella teoria dei giochi sembra essere necessaria una qualche definizione di equilibrio, cioè un insieme di scelte (una per ogni giocatore) che in un qualche modo renda soddisfatto ogni giocatore, cioè che in un qualche modo “massimizzi” la funzione di utilità di ogni giocatore. Questo equilibrio si può ottenere forse “cooperando” o avendo a disposizione alcune informazioni essenziali. Ma ovviamente è interessante dare una definizione di equilibrio anche nel caso in cui ogni giocatore non disponga di alcuna informazione aggiuntiva e in cui non ci sia alcuna forma di cooperazione tra i giocatori.

Facciamo un ulteriore passo formale. Supponiamo di avere un gioco con n giocatori X₁,…,X_n, ciascuno con il suo insieme di possibili scelte S_i, i=1,..n, e con la sua funzione utilità u_i : S₁×···×S_n ™ R. Una prima definizione possibile di “equilibrio” (molto banale) può essere la seguente: un vettore di strategie s*ÎS₁×···×S_n è un equilibrio se

u_i(s) < u_i(s*) per ogni sÎS₁×···×S_n e per ogni i=1,..n.

Praticamente, tale equilibrio è quel vettore di strategie formato dalle singole scelte di ogni giocatore che “massimizzano il suo personale tornaconto”. Se un tale equilibrio esiste è ovvio che ognuno se lo gioca e tutti sono felici. Ma esso non sempre esiste: ad esempio nella guerra dei sessi non c’è. E’ quindi necessario dare altre definizioni di equilibrio più generali (per esempio il cosiddetto “ottimo di Pareto” o “l’equilibrio di Nash”), e però si rende anche necessario, a quel punto, dimostrare che tali equilibri esistono in una casistica sufficientemente ampia di “giochi”. Inoltre, qualora di equilibri (del tipo cercato) ce ne siano più d’uno, quale si dovrebbe scegliere? Ad esempio nella guerra dei sessi, le coppie (P,P), e (B,B) sono ambedue sia ottimo di Pareto che equilibrio di Nash, ma come scegliere tra le due? Se gli equilibri sono più d’uno, è possibile un ulteriore criterio di selezione tra essi in modo da selezionarne uno solo, giocabile da tutti i giocatori?

Le applicazioni (o le motivazioni?) della teoria dei giochi all’economia e alle scienze sociali sono praticamente ovvie, ma anche altre numerose discipline si giovano della teoria dei giochi. Più di un Premio Nobel per l’Economia è stato assegnato a matematici per i loro studi sulla Teoria dei Giochi.

LAVORO DI TESI. Leggere, comprendere e rielaborare testi introduttivi (ma non solo) sulla teoria dei giochi; studiare e approfondire teoremi di punto fisso (che servono per dimostrare l'esistenza di equilibri).

REQUISITI. La matematica del biennio.