TITOLO. Grafici massimali monotoni e sottodifferenziali di funzioni convesse semicontinue inferiormente.

DESCRIZIONE DELL'ARGOMENTO. Un grafico massimale monotono su R è una opportuna funzione

                                      g : R --> P(R),

dove P(R) è l'insieme delle parti di R (numeri reali). Quindi ad ogni elemento x di R si associa un sottoinsieme di R. Si richiede che questa funzione sia monotona (non decrescente), cioè che se x1 è più piccolo di x2, allora tutti i valori di g(x1) sono più piccoli (o al più uguali) di ciascun valore di g(x2). La massimalità significa che non esiste un altro grafico monotono h che contiene strettamente g, cioè che g(x) è contenuto in h(x) per ogni x e che tale inclusione è stretta per un qualche opportuno x.

Graficamente, un grafico massimale monotono su R è un grafico (una "linea") in R2 che è non decrescente nel verso delle x crescenti, che può contenere dei tratti verticali e che non ha buchi (ovvero salti).

Il concetto di grafico massimale monotono si generalizza anche al caso n-dimensionale.

I grafici (o operatori) massimali monotoni sono molto importanti nella modellistica matematica, perché spesso sono adatti a descrivere le leggi costitutive dei sistemi fisici ed ingegneristici che si vanno a studiare.

Nel caso unidimensionale, i grafici massimali monotoni coincidono con i sottodifferenziali di funzioni convesse semicontinue inferiormente.

In modo non molto rigoroso si può dire che una funzione da R in R è semicontinua inferiormente se i suoi eventuali salti (discontinuità) sono solo verso il basso. Il sottodifferenziale in x di una funzione f da R in R (non necessariamente differenziabile)  è l'insieme di tutte le possibili pendenze (coefficienti angolari) delle rette che toccano il grafico di f in x e che stanno sotto tale grafico in tutto R.

I concetti di semicontinuità inferiore e di sottodifferenziale si estendono anche al caso in più variabili.

La caratterizzazione nel caso unidimensionale dei grafici massimali monotoni con i sottodifferenziali è molto utile, perché la proprietà di essere un sottodifferenziale è ricca di conseguenze.

Purtroppo, nel caso a più dimensioni non c'è più equivalenza tra grafici massimali monotoni e sottodifferenziali. Si può solo affermare (la qual cosa è comunque di notevole interesse) che tutti i sottodifferenziali delle funzioni convesse semicontinue inferiormente sono dei grafici massimali monotoni. Esistono pero' dei grafici massimali monotoni che non sono sottodifferenziali.

TIPO DI LAVORO RICHIESTO ED OBIETTIVI. Leggere parti di alcuni testi relativi all'argomento, comprenderli bene, saperli rielaborare (per iscritto) e raccontare esaurientemente.

REQUISITI. Calcolo differenziale ed integrale in una e più variabili.

VALENZA IN CREDITI: da 3 a 5.