TITOLO DEL SEMINARIO. Il principio del massimo per problemi ellittici.

DESCRIZIONE DELL'ARGOMENTO. Il prototipo dei problemi ellittici è il seguente: dato un sottoinsieme A di Rn, ed una funzione continua g, a valori reali e definita sul bordo di A, dA, determinare una funzione regolare u, definita sulla chiusura di A, a valori in R, che risolva

                                            u11+u22+...+unn=0      in A,                       (1)
                                            u=g                             su dA,

dove uii indica la derivata seconda rispetto alla variabile xi. La somma delle derivate parziali seconde pure di u si chiama anche Laplaciano di u, e spesso si indica con una "delta" maiuscola.

I problemi ellittici sono forse i problemi più studiati nell'ambito della teoria delle equazioni alle derivate parziali. La loro importanza è sia teorica che applicativa (molti problemi delle scienze applicate si modellizzano matematicamente con un problema ellittico). L'uso della parola ellittico dipende dal fatto che l'equazione differenziale alle derivate parziali che si considera è del tipo ellittico (è un problema stazionario, non c'è evoluzione, ovvero dipendenza dal tempo, come invece avviene per l'equazione parabolica (es. equazione del calore) e per l'equazione iperbolica (es. equazione delle onde)).

Detto in parole povere, il principio del massimo asserisce che, se u e v risolvono il problema (1) rispettivamente con dati al bordo g1 e g2 soddisfacenti a g1<g2, allora si ha u<v in tutta la chiusura di A.

Questo importante risultato ha per immediata conseguenza l'unicità della eventuale soluzione di (1).  Può però essere usato anche per dimostrare l'esistenza di una soluzione di (1), tramite il cosiddetto metodo di Perron. Questo metodo dice più o meno che "la massima sottosoluzione è soluzione". Una sottosoluzione di (1) è una funzione u che verifica la prima equazione di (1) solamente con il segno di "maggiore o uguale" e la seconda solamente con il segno di "minore o uguale" (cioè è minore o uguale del dato sul bordo e il suo Laplaciano è maggiore o uguale a zero).

TIPO DI LAVORO RICHIESTO ED OBIETTIVI. Leggere parti di alcuni testi relativi all'argomento, comprenderli bene, saperli rielaborare (per iscritto) e raccontare esaurientemente.

REQUISITI. Calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili.

VALENZA IN CREDITI: da 3 a 5.