Lezione del 16/5/2004 (2 ore):

Abbiamo visto la volta scorsa che urge trovare un metodo agevole per verificare la differenziabilità di una funzione. Il seguente teorema permette spesso di risolvere il problema:

TEOREMA (Del differenziale totale): Sia $f:{\bf R}^2\to{\bf R}$ una funzione derivabile parzialmente in un intorno del punto $(x_0,y_0)$ (cioè in un rettangolo che contiene $(x_0,y_0)$ al suo interno). Se le derivate parziali $\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial y}$ sono entrambe continue nel punto $(x_0,y_0)$, allora la funzione $f$ è differenziabile nel punto $(x_0,y_0)$.

ESEMPIO: Riprendiamo la funzione $f(x,y)=x^2-3y^2$, di cui avevamo verificato ``a mano'' la differenziabilità. Si ha

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x,\quad\frac{\partial f}{\partial y} (x,y)=-6y.$$

Le derivate parziali esistono ovunque, e sono funzioni continue di $(x,y)$, per cui la funzione è ovunque differenziabile.

In maniera analoga, un qualunque polinomio di due variabili è ovunque differenziabile, perché le sue derivate parziali sono ancora polinomi e sappiamo che i polinomi sono funzioni continue... Utilizzando il teorema del differenziale totale, si può così mostrare facilmente che un gran numero di funzioni elementari sono differenziabili.

DIMOSTRAZIONE del Teorema del Differenziale Totale: Sia $(x,y)$ un punto sufficientemente vicino a $(x_0,y_0)$, in modo che tutto il rettangolo di vertici $(x_0,y_0)$, $(x_0,y)$, $(x,y)$ e $(x,y_0)$ sia contenuto nell'insieme in cui esistono le derivate parziali di $f$.

Per mostrare che $f$ è differenziabile in $(x_0,y_0)$, dobbiamo far vedere che quando $(x,y)\to (x_0,y_0)$ il seguente rapporto tende a $0$:

$$G(x,y)=\frac{f(x,y)-f(x_0,y_0)-\frac{\partial f}{\partial x}(... ...ial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}$$

Il teorema di Lagrange per funzioni di una variabile mi assicura che esistono dei punti $\xi$ (con $\xi$ compreso tra $x_0$ ed $x$) ed $\eta$ (con $\eta$ compreso tra $y_0$ ed $y$) tali che

$$\begin{eqnarray*} f(x,y_0)-f(x_0,y_0)&=&\frac{\partial f}{\partial x}(\xi,y_0)(... ...,y)-f(x,y_0)&=&\frac{\partial f}{\partial y}(x,\eta)(y-y_0).\\ \end{eqnarray*}$$

Nel rapporto $G(x,y)$, aggiungiamo e togliamo la quantità $f(x,y_0)$ a numeratore, ed applichiamo le due relazioni appena trovate. Possiamo così scrivere

$$\begin{eqnarray*} G(x,y)&=&\frac{x-x_0}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}\left[\frac{... ...ial y} (x,\eta)-\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\right]. \end{eqnarray*}$$

Ora, quando $(x,y)\to (x_0,y_0)$ avremo che $\xi\to x_0$ e $\eta\to y_0$, e grazie alla continuità delle derivate parziali in $(x_0,y_0)$ le due espressioni tra parentesi quadre tenderanno a $0$. Invece, i rapporti

$$\frac{x-x_0}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}},\quad \frac{y-y_0}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}$$

sono limitati: precisamente, il modulo di entrambi è minore o uguale a $1$. Se ne conclude che

$$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}G(x,y)=0.$$

Q.E.D.

OSSERVAZIONE: Il teorema del differenziale totale ci fornisce solo una condizione sufficiente di differenziabilità: una funzione può benissimo essere differenziabile anche se non sono soddisfatte le ipotesi. Ad esempio, la funzione

$$f(x,y)=\left\{ \begin{array}{ll} 0 &se x\in{\bf Q} oppure y\in{\bf Q}\\ x^2+y^2 &altrimenti\\ \end{array} \right.$$

è differenziabile nell'origine (con piano tangente $z=0$), ma non è neppure derivabile parzialmente in tutti gli altri punti.

Esattamente come accadeva in una variabile, l'analisi delle derivate parziali è un metodo potentissimo per cercare i punti di massimo e minimo relativo per una funzione differenziabile di due variabili. Una prima semplicissima osservazione ci assicura che in un punto di massimo o minimo relativo il piano tangente deve essere orizzontale:

OSSERVAZIONE: Se $(x_0,y_0)$ è un punto di massimo o minimo relativo per la funzione differenziabile $f(x,y)$, allora

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=0,\quad \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0.$$

Infatti, il punto $(x_0,y_0)$ sarà a maggior ragione un punto di massimo o minimo relativo per la restrizione di $f$ alle rette $y=y_0$ e $x=x_0$, per cui le derivate di tali restrizioni (che sono poi le derivate parziali) si devono annullare nel punto stesso.

I punti in cui il piano tangente è orizzontale si chiamano punti critici. Evidentemente, questi non sono tutti punti di massimo o minimo relativo: ci possono essere per esempio punti di sella (punti corrispondenti a un ``passo di montagna'', se interpretiamo il grafico della funzione come rappresentazione grafica di un territorio montuoso...).

Così come facevamo in una variabile, ci piacerebbe classificare i punti critici in base al segno della derivata seconda. Un piccolo problemino è dato però dal fatto che in un punto $(x_0,y_0)$ di possibili derivate seconde ce ne sono ben quattro:

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0,y_0),\ \frac{\partial... ..._0,y_0),\ \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x_0,y_0).$$

Per comodità, esse si raggruppano di solito nella matrice hessiana

$$Hf(x_0,y_0)=\left( \begin{array}{cc} \frac{\partial^2 f}{\p... ...} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\\ \end{array} \right)$$

(in cui, ovviamente, tutte le derivate parziali sono calcolate in $(x_0,y_0)$).

Per nostra fortuna, se la funzione $f$ è abbastanza buona le due derivate parziali miste sono uguali e la matrice hessiana è una matrice simmetrica: è il contenuto del seguente

TEOREMA (di Schwartz): Se $f$ possiede entrambe le derivate seconde miste

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y),\ \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x,y)$$

in un intorno del punto $(x_0,y_0)$, e queste due derivate sono continue in $(x_0,y_0)$, allora

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0)= \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x_0,y_0).$$

Omettiamo la dimostrazione del teorema di Schwartz (che comunque non è molto più difficile di quella del teorema del differenziale totale). Osserviamo però che il teorema può essere falso se non valgono le ipotesi: esistono esempi di funzioni che hanno le derivate seconde miste diverse!

Purtroppo questa non è una questione di lana caprina: la simmetria della matrice hessiana sarà una proprietà molto importante nel nostro studio dei punti critici¹⁰.

Come per le funzioni di una variabile, lo studio dei punti critici mediante le derivate seconde è strettamente legato ad una formula di Taylor di ordine 2 (con resto di Peano). Per poterla dimostrare, ci serve una semplice regola di derivazione delle funzioni composte che è molto interessante anche per se stessa:

PROPOSIZIONE (Regola di derivazione delle funzioni composte): Sia $f(x,y)$ una funzione ovunque differenziabile, e siano $x(t)$, $y(t)$ due funzioni derivabili di una variabile. Allora la funzione composta $F(t)=f(x(t),y(t))$ è derivabile, e si ha

$$F'(t)=\frac{\partial f}{\partial x}(x(t),y(t))\;x'(t)+ \frac{\partial f}{\partial y}(x(t),y(t))\;y'(t).$$

DIM: Per dimostrare che $f$ è derivabile in $t_0$ e che vale la nostra espressione per la derivata, è sufficiente verificare che vale la formula di Taylor del primo ordine:

$$\begin{eqnarray*} (A) &&f(x(t),y(t))=f(x(t_0),y(t_0))+\\ &&\left( \frac{\pa... ... f}{\partial y}(x(t_0),y(t_0))\;y'(t_0)\right)(t-t_0)+o(t-t_0). \end{eqnarray*}$$

A questo scopo, notiamo che la differenziabilità di $f$ implica

$$\begin{eqnarray*} (B) &&f(x(t),y(t))=f(x(t_0),y(t_0))+ \frac{\partial f}{\par... ...,y(t_0))\;(y(t)-y(t_0))+o(\vert(x(t)-x(t_0),y(t)-y(t_0))\vert), \end{eqnarray*}$$

mentre per le funzioni derivabili $x(t)$ e $y(t)$ abbiamo

$$x(t)-x(t_0)=x'(t_0)(t-t_0)+o(t-t_0),\quad y(t)-y(t_0)=y'(t_0)(t-t_0) +o(t-t_0).$$

Sostituendo queste due ultime relazioni in (B) si ottiene (A), a patto di osservare che $o(\vert(x(t)-x(t_0),y(t)-y(t_0))\vert)=o(t-t_0)$.¹¹ Q.E.D.