Lezione del 23/4/2007 (2 ore):

Come vi immaginerete, vogliamo applicare i ``fantastici'' risultati astratti della volta scorsa a problemi di calcolo delle variazioni. Per farlo, ci serve una classe abbastanza ampia di funzionali convessi: eccoli!

OSSERVAZIONE: Il funzionale integrale

$$F(u)=\int_a^bf(x,u(x),u'(x))\;dx,$$

con $f\in{\cal C}^1([a,b]\times{\bf R}\times{\bf R})$ è certamente convesso (risp., strettamente convesso) su ${\cal C}^1([a,b])$ se sappiamo che per ogni $x\in[a,b]$ la funzione $(u,p)\mapsto f(x,u,p)$ è una funzione convessa (risp., strettamente convessa) di due variabili. Otteniamo così il seguente, fondamentale

COROLLARIO: Sia $f\in{\cal C}^1([a,b]\times{\bf R}\times{\bf R})$, $F:{\cal C}^1([a,b])\to{\bf R}$ il funzionale

$$F(u)=\int_a^bf(x,u(x),u'(x))\;dx.$$

Supponiamo che per ogni $x\in[a,b]$ la funzione di due variabili $(u,p)\mapsto f(x,u,p)$ sia convessa, e consideriamo l'insieme ammissibile

$$K=\{u\in{\cal C}^1([a,b]): u(a)=\alpha, u(b)=\beta\}$$

(con $\alpha,\beta$ fissati numeri reali). Allora $\overline u\in K$ è un punto di minimo del funzionale $F$ in $K$ se e soltanto se $\delta F(\overline u,\phi)=0$ per ogni $\phi\in{\cal C}^1_0([a,b])$, cioè se e soltanto se $\overline u$ soddisfa l'equazione di Eulero debole. Se poi $\overline u\in K\cap{\cal C}^2([a,b])$, allora $\overline u$ è un punto di minimo se e soltanto se soddisfa l'equazione di Eulero

$$f_u(x,\overline u(x),\overline u'(x))=\frac{d}{dx}[f_p(x,\overline u(x),\overline u'(x))].$$

Se infine $f$ è strettamente convessa nelle variabili $(u,p)$ per ogni fissato $x$, l'evuentuale punto di minimo è unico.

Si noti che, nel corollario precedente, la sufficienza dell'equazione di Eulero debole segue dal risultato sulle funzioni convesse, mentre la necessità l'abbiamo ottenuta già nella prima lezione! Per avere la stretta convessità del funzionale, l'ipotesi che $f(x,u,p)$ sia strettamente convessa nelle ultime due variabili può essere indebolita: grazie alla particolare forma del funzionale variazione prima, basta che nella condizione di convessità

$$f(x,u+v,p+q)\ge f(x,u,p)+f_u(x,u,p)v+f_p(x,u,p)q$$

l'uguale valga solo se $v=0$ oppure $q=0$... Per esempio, la somma di una funzione strettamente convessa in $p$ e di una convessa ma non strettamente convessa in $u$ produce un funzionale integrale strettamente convesso!

Per vedere il teorema in azione, cominciamo con un semplice esempio:

ESEMPIO: Si consideri il funzionale

$$F(u)=\int_0^1[\frac12(u'(x))^2+g(x)u(x)]\;dx,$$

con $g(x)$ un'assegnata funzione continua. Vogliamo trovare il minimo di $F$ in ${\cal C}^1_0([0,1])$. L'equazione di Eulero Lagrange è $u''(x)=g(x)$. Se poniamo $U(x):=\int_0^x\int_0^sg(t)\;dt\;ds$, la soluzione generale dell'equazione è $u(x)=U(x)+ax+b$. Se imponiamo che valgano le condizioni al bordo, vediamo che l'unica soluzione dell'equazione di Eulero è $\overline u(x)=U(x)-U(1)x$. Poichè il funzionale $F(u)$ è strettamente convesso, questo è l'unico minimo assoluto del nostro problema variazionale.

ESEMPIO: Vediamiamo ora una famiglia di funzionali non convessi, in cui l'equazione di Eulero ha sempre almeno una soluzione ammissibile (mentre per certi valori del parametro ne ha infinite). Vedremo però che, a seconda dei valori del parametro $\nu$, possiamo avere $1$, infinite o nessuna soluzione del problema variazionale.

La famiglia di funzionali che vogliamo considerare è

$$F(u)=\int_0^\pi[(u'(x))^2-\nu^2(u(x))^2]\;dx,$$

con $\nu$ parametro reale. Siamo interessati a trovare, se esistono, i punti di minimo di $u$ in ${\cal C}^1_0([0,\pi])$.

L'equazione di Eulero-Lagrange è $u''(x)+\nu^2u(x)=0$, la cui soluzione generale è $u(x)=a\cos\nu x+b\sin\nu x$. Andando ad imporre le condizioni al bordo, si trova sempre la soluzione ``banale'' $u(x)=0$. Se $\nu$ è intero, anche le funzioni $u(x)=c\sin\nu x$ sono soluzioni (per ogni $c\in{\bf R}$), altrimenti c'è solo la soluzione banale.

Mostreremo che per $\nu^2<1$, la soluzione $u(x)=0$ è l'unico punto di minimo del funzionale. Per $\nu^2=1$, le infinite funzioni del tipo $u(x)=c\sin x$ sono tutti e soli i minimi assoluti, mentre per $\nu^2>1$ il funzionale non è nemmeno inferiormente limitato: le soluzioni dell'equazione di Eulero non sono minimi!

Per dimostrare le nostre affermazioni, abbiamo bisogno di una disuguaglianza che riincontreremo (in un contesto leggermente diverso) anche nel seguito: la disuguaglianza di Poincarè-Wirtinger.

TEOREMA (Disuguaglianza di Poincaré-Wirtinger): Sia $u\in{\cal C}^1_0([0,\pi])$. Allora si ha

$$\int_0^\pi(u(x))^2\;dx\le\int_0^\pi(u'(x))^2\;dx,$$

con l'uguaglianza se e solo se $u(x)=c\sin x$.

DIM.: Estendiamo $u$ ad una funzione dispari definita anche in $[-\pi,0)$, ed estendiamola poi ulteriormente ad una funzione $2\pi$-periodica definita su tutta la retta reale. La funzione $u$ rimane di classe ${\cal C}^1$ a tratti grazie alle condizioni al contorno. Una tale funzione e la sua derivata hanno la serie di Fourier che converge in $L^2$: possiamo scrivere

$$u(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n\sin nx,\qquad u'(x)=\sum_{n=1}^\infty nb_n\cos nx,$$

con $b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi u(x)\sin nx\;dx$ e si ha (identità di Parseval):

$$\int_0^\pi (u(x))^2\;dx=\frac\pi2\sum_{n=1}^\infty b_n^2,\quad \int_0^\pi (u'(x))^2\;dx=\frac\pi2\sum_{n=1}^\infty n^2b_n^2,$$

da cui segue subito l'asserto confrontando le due serie. Q.E.D.

Dalla disuguaglianza di Poincarè-Wirtinger segue subito il nostro asserto sulla famiglia di funzionali dell'esempio: se $\nu^2\le 1$ il funzionale è non negativo e vale $0$ se e soltanto se $u(x)=0$ oppure (nel solo caso $\nu^2=1$) quando $u(x)=c\sin x$.

Se poi $\nu^2>1$, per verificare che il funzionale non è inferiormente limitato basta calcolarlo sulle funznioni $u(x)=c\sin x$. Si potrebbe far vedere che, in questo caso, le soluzioni dell'equazione di Eulero sono punti di sella del funzionale.

ESEMPIO (Brachistocrona): Torniamo al funzionale della brachistocrona. Abbiamo visto che occorre minimizzare

$$F(u)=\int_0^{x_1}\sqrt\frac{1+(u'(x))^2}{u(x)}\;dx$$

tra tutte le funzioni $u\in{\cal C}^1([0,1])$ con $u(0)=0$, $u(x_1)=y_1$.

Purtroppo la funzione $(u,p)\mapsto\sqrt\frac{1+p^2}{p}$ non è convessa (per esempio, si vede subito che non lo è la restrizione alla retta $u=p$). Se però restringiamo le curve ammissibili a quelle che sono grafico di una funzione di $y$ (cioè a quelle del tipo $x=u(y)$), con le stesse considerazioni fisiche della volta scorsa arriviamo al funzionale:

$$F(u)=\int_0^{y_1}\sqrt\frac{1+(u'(y))^2}{y}\;dy,$$

da minimizzare tra tutte le funzioni $u\in{\cal C}^1([0,y_1])$ con $u(0)=0$, $u(y_1)=x_1$. Per ogni fissato $y$, la funzione

$$y\mapsto\sqrt\frac{1+p^2}{y}$$

è strettamente convessa: un'(eventuale) soluzione dell'equazione di Eulero è dunque l'unica soluzione del problema della brachistocrona!

L'equazione di Eulero è

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u'(y)}{\sqrt{u(y)(1+(u'(y))^2}}\right)=0,$$

da cui si ricava con semplici conti

$$(u'(y))^2=\frac{y}{c^2-y}.$$

Quest'equazione si integra facilmente con la sostituzione $u/(c^2-u)=z^2$, ottenendo

$$u(y)=-\sqrt{y(c^2-y)}+c^2\arctan\sqrt\frac{y}{c^2-y}.$$

Questa funzione soddisfa evidentemente la condizione $u(0)=0$...e in certi casi possiamo sperare che si riesca a soddisfare anche l'altra.

La funzione trovata rappresenta un arco di cicloide...anche se non è così immediato riconoscerlo! Analizzeremo più in dettaglio questo fatto la prossima volta, facendo anche qualche considerazione sulla possibilità di soddisfare le condizioni al contorno.