Flusso gradiente per le geodetiche

Gli applet presenti in questa pagina consentono di tracciare una curva a scelta sulla superficie visualizzata, e la deformano poi gradualmente fino a farla diventare una geodetica.

La scelta della curva avviene nel pannello di destra (mappa topografica della superficie con le curve di livello): spostando i quattro nodi (quadratini), si possono disegnare diverse curve iniziali, che vengono rappresentate in grigio.

Una volta trovata una curva iniziale di proprio gradimento, si puo' premere il pulsante "Accorcia!", e la curva verra' gradualmente deformata fino a diventare una geodetica: a questo punto, l'animazione si ferma. La deformazione viene effettuata scegliendo, in ogni istante, quello spostamento (nello spazio di tutte le curve con gli stessi estremi della curva iniziale), lungo il quale la funzione lunghezza decresce piu' rapidamente...(in realta', questo e' quasi esatto, ma non proprio...vedere la noticina sotto!).

Al solito, la raffigurazione assonometrica della superficie (completa di curva), puo' essere ruotata trascinandoci sopra il mouse orizzontalmente e col pulsante premuto.

Il secondo applet differisce dal primo solo nell'altezza dei rilievi della superficie, che per il resto e' esattamente identica alla prima. Facendo delle prove, si vede pero' che le geodetiche sono molto diverse! In particolare, nel secondo caso si possono trovare delle geodetiche che si "annodano" attorno ad una o ad entrambe le "collinette", mentre nel primo caso queste non esistono.

Nota: Come accennato dianzi, la deformazione della curva iniziale in una geodetica viene trovata effettuando una discesa lungo la massima pendenza nello spazio di tutte le curve che hanno gli stessi estremi della curva iniziale. La funzione di cui si cerca la direzione di massima decrescita non e' pero' la lunghezza delle curve: per ragioni matematiche, si e' preferita la funzione energia cinetica totale. In sostanza, ogni curva viene considerata come legge oraria di un punto materiale che si muove sulla superficie, e si calcola l'energia corrispondente.... In questo modo, troviamo lo stesso una geodetica: una curva e' punto di minimo (o, piu' in generale, punto critico) per la funzione energia cinetica se e solo se lo e' per la funzione lunghezza, ed e' percorsa con velocita' costante! D'altra parte, puo' accadere che, durante la deformazione della curva, la lunghezza per un po' di tempo cresca, prima di ricominciare a decrescere fino ad un minimo relativo.





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Discesa lungo la massima pendenza
Punto che rotola in una ciotola
Geodetiche su un paraboloide
Geodetiche su una montagna
Geodetiche minimizzanti
Curva che si accorcia