|
|
|
|
|
Questa pagina consente di accedere ad alcuni programmini, che hanno lo scopo di illustrare due importanti problemi matematici, apparentemente molto diversi tra loro ma legati dal fatto che in entrambi i casi si cerca di minimizzare qualcosa... L'ultimo programma, comunque, ci mostra come il primo problema fornisca dei suggerimenti utili per risolvere il secondo!
Il primo problema e' anche il piu' semplice: supponiamo di avere una superficie (per esempio,
un terreno piu' o meno accidentato), e di voler trovare i suoi punti di minimo relativo.
Il modo piu' semplice e' quello noto come discesa lungo la massima pendenza o anche come
metodo dello sciatore: in ogni momento, ci si sposta nella direzione in cui la "discesa" e'
piu' ripida.
Per vedere gli effetti di questa strategia, potete cliccare sulla figura qui a sinistra.
Una domanda
sorge spontanea: se mettiamo una pallina sulla superficie, e la lasciamo rotolare
verso il basso sotto
l'effetto della gravita', la traiettoria sara' quella descritta sopra?
Assolutamente NO! Infatti, la pallina tendera' ad acquistare velocita', con l'effetto di
deformare la traiettoria. Inoltre, raggiunto un punto di
minimo relativo essa risalira', innescando un moto oscillatorio che andra' via via smorzandosi.
Se l'attrito e' basso o assente, questo moto oscillatorio assumera' caratteristiche
assai complicate e caotiche. Se invece c'e' un forte attrito, il percorso della pallina sara' in
qualche modo simile a quello prescritto dal "metodo dello sciatore".
Cliccate sulla figura per fare l'esperimento!
Il secondo problema che ci interessa, e' quello delle geodetiche, che affronteremo
da due punti di vista differenti, ma collegati. Supponiamo di avere una formica ammaestrata,
e di metterla sopra una superficie curva che sia
molto, molto grande rispetto al nostro imenottero. Alla
formichina, la superficie sembrera' praticamente piana (conveniamo anche di trascurare gli effetti
dovuti alla gravita': l'esperimento avviene in un'astronave in orbita...).
Se noi indichiamo alla nostra fedele servitrice una direzione, e le diciamo di
cominciare a camminare, la formica seguira' una traiettoria che dal suo punto di vista sara'
rettilinea, ma che per noi sara' una curva sulla superficie: tale curva si chiama
geodetica. (Equivalentemente, e piu' ... seriamente,
e' una geodetica la traiettoria di un punto vincolato a stare
sulla superficie, quando questo si muova di moto inerziale in assenza di forze esterne).
Cliccando sulla figura di destra si possono vedere le geodetiche su un paraboloide, cliccando sulla figura di sinistra quelle su una superficie a forma di montagna. In entrambi i casi, si puo' scegliere punto e direzione iniziale.
C'e' anche un altro aspetto del problema delle geodetiche: supponiamo di fissare due
punti della nostra superficie, e di voler trovare la curva piu' corta che li congiunga
(sulla superficie stessa). Una tale curva si chiama geodetica minimizzante. Dal punto di
vista computazionale, questo problema e' molto piu' arduo di quello della formichina: invece di
dover calcolare una traiettoria prescritta da condizioni geometriche abbastanza semplici e
deterministiche, dobbiamo trovare la curva piu' corta tra tutte le infinite curve
che uniscono i punti dati: il classico ago in un pagliaio! Fortunatamente, ogni geodetica
minimizzante e' anche una geodetica nel senso della formichina (anche se il viceversa non
e' vero). Quindi, per trovare la nostra soluzione piazziamo un cannoncino spara-geodetiche
nel primo dei nostri punti, e gli facciamo lanciare geodetiche a 360 gradi, in tutte le direzioni.
Annotiamo quali di queste geodetiche raggiungono il secondo punto, e scegliamo quella piu' corta
(o quelle piu' corte)...e il gioco e' fatto!
Al solito, per fare la prova basta cliccare sulla figura!
L'ultimo programma mette insieme quanto abbiamo appreso dai due problemi precedenti:
l'idea e' di usare la discesa lungo la massima pendenza per trovare una geodetica.
Si parte da una curva su una superficie, e la si vuole deformare pian piano, tenendo fissi
gli estremi e riducendo
sempre la sua lunghezza, fino a farla diventare una geodetica. Il modo di deformare la curva viene
scelto prendendo sempre la "direzione", nello spazio di tutte le curve, in cui la funzione
lunghezza decresce piu' rapidamente. Piu' o meno, e' come se tirassimo
gli estremi di una cordicella vincolata (in qualche modo) a stare sulla superficie,
in modo da ridurne
gradualmente la lunghezza. Come nel nostro primo problema, la curva finale che
troveremo sara' in generale solo un minimo relativo della lunghezza, tra tutte le curve che hanno
gli stessi estremi.
Al solito, per fare la prova basta cliccare sulla figura!
|
|
|
|
|
|
|
|
