Prof. Augusto Visintin

a.a. 2000-01

Programma

1. Funzioni di Pi\`u Variabili a Valori Vettoriali.
Funzioni di più variabili.
Limiti e continuità
Conseguenze della continuit\`a: limitatezza ed esistenza degli estremi.
Coordinate cartesiane, polari, cilindriche, sferiche.

2. Funzioni di più Variabili a Valori Vettoriali.
Aperti, chiusi e punti frontiera.
Derivate parziali, gradiente e differenziale.
Interpretazione geometrica del differenziale e del gradiente.
Condizione sufficiente per la differenziabilità.
Condizione sufficiente per l'uguaglianza delle derivate miste.
Matrici Jacobiana e Hessiana.
Derivazione delle funzioni composte.
Formula di Taylor troncata al secondo ordine.
Studio dei punti stazionari dei campi scalari.
Metodo dei minimi quadrati.
Funzioni definite implicitamente e loro derivate (teorema di Dini).
Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

3. Curve e Superficie.
Rappresentazione parametrica, implicita ed esplicita di curve e superficie.
Lunghezza di una curva parametrica.
Integrali di linea di prima specie (ovvero rispetto alla lunghezza d'arco).
``Prodotto vettoriale fondamentale"
Piano tangente e retta normale ad una superficie.
Traformazioni di coordinate.

4. Campi Vettoriali ed Operatori Differenziali Vettoriali.
Campi vettoriali.
Campi conservativi e relativi potenziali.
Condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza di un potenziale.
Integrali di linea di seconda specie.
Operatori rotore, divergenza e laplaciano.
Campi irrotazionali e campi solenoidali.

 5. Calcolo Integrale.
Integrali doppi e decomposizione in integrali semplici iterati.
Cambiamento di variabili.
Integrali tripli.
Formula di Gauss-Green nel piano.
Integrali superficiali ed area di una superficie parametrica.
Teorema della divergenza.
Teorema del rotore.

6. Serie di Fourier.
Cenni sulle serie di funzioni.
Funzioni periodiche.
Definizione di serie di Fourier.
Serie di Fourier per funzioni pari e per funzioni dispari.
Forma trigonometrica e forma esponenziale.
Identificazione dei relativi coefficienti.
Cenni sulla convergenza delle serie di Fourier.

Esercitazioni

E' richiesta la capacità di risolvere esercizi sui seguenti argomenti:

1. Calcolo di limiti.

2. Calcolo di derivate parziali e di operatori differenziali vettoriali.

3. Calcolo di integrali curvilinei, in particolare della lunghezza delle curve.

4. Studio del grafico di una funzione scalare di piu' variabili.

5. Calcolo di integrali multipli, in particolare di aree e volumi.
 
 

Testo di Riferimento.

M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa.
Matematica. Zanichelli, Bologna 2000.
Cap. 9--14.
 
 

 Modalità di Esame.

Una prova scritta, con quesiti di teoria e (soprattutto) esercizi.

Una breve prova orale.