a.a. 2000/2001

Prof. Antonio Cassa
 

Programma
                             
 
 
Gli argomenti preceduti da un asterisco sono facoltativi.
 
   -    Definizione di spazio metrico
   -    Esempi di spazi metrici
   -*  Esempi di spazi metrici di funzioni
   -    Spazio metrico prodotto
   -         Definizione di isometria
   -         Spazi metrici isometrici
   -         La isometricità è una relazione di equivalenza
   -         Successione convergente e punto limite di una successione
   -         Unicità del punto limite
   -*         Osservazione: il limite delle distanze è la distanza tra i punti limite
   -         Successioni di Cauchy
   -         Ogni successione convergente è di Cauchy
   -*  “Successione” con due indici naturali convergente
   -         Spazio metrico completo
   -*         R è completo
   -         Sottoinsieme denso
   -         Un sottoinsieme denso e proprio non è completo
   -         Ogni spazio metrico ammette un completamento. La dimostrazione* è facoltativa.
   -         Il completamento è “unico”. La dimostrazione* è facoltativa.
   -         Definizione di disco (aperto) di dato centro e raggio
   -         Un disco aperto contiene dischi centrati in ogni suo punto
   -         Esempi di dischi
   -         Punti interni, esterni e di frontiera per un sottoinsieme
   -         Parte interna, parte esterna  ed insieme frontiera di un sottoinsieme
   -         Proprietà immediate di queste parti
   -         Esempi e controesempi
   -*   Parti interne, esterne e di frontiera dei dischi: esempi e controesempi
   -         Punti aderenti ad un sottoinsieme
   -         Chiusura di un sottoinsieme
   -         La chiusura di un sottoinsieme è data dal complementare della sua parte esterna
   -         La chiusura di un sottoinsieme è data dall’unione dell’insieme con la sua frontiera
   -         Sottoinsiemi aperti e chiusi
   -         Esempi ed osservazioni
   - *        Un sottoinsieme è aperto se e solo se coincide con la sua parte interna
   - *        Un sottoinsieme è chiuso se e solo se coincide con la sua chiusura
   -         Definizione di applicazione continua tra spazi metrici
   -         Omeomorfismi tra spazi metrici
   -         Metriche topologicamente equivalenti su un insieme
   -         Esempio di due metriche topologicamente equivalenti su R^2
   -         Intorni dei punti in uno spazio metrico
   -         Un insieme è intorno di un punto se e solo se il punto sta nella sua parte interna
   -         Famiglia degli intorni di un punto
   -         Rivisitazione dei punti interni, esterni, di frontiera ed aderenti per mezzo degli intorni
   -         Un insieme è aperto se e solo se è intorno di ogni suo punto
   -         Un insieme è intorno di un punto se e solo se contiene un aperto che contiene il punto
   -         “Conoscere tutti gli aperti” equivale a “conoscere tutti gli intorni dei punti”
   -         Rivisitazione della definizione di applicazione continua per mezzo degli intorni
   -         Due metriche su un insieme sono topologicamente equivalenti se e solo se definiscono gli stessi intorni (e gli stessi aperti)
   -         Definizione di topologia di uno spazio metrico
   -         Proprietà della topologia
   -         Definizione di topologia su un insieme e di spazio topologico
   -         Esempi di spazi topologici
   -         Famiglie di aperti che sono basi di una topologia assegnata
   -         Esempi di basi di topologie
   -         Proprietà di una famiglia di sottoinsiemi perché definisca una topologia di cui è base
   -         Topologia su R definita dalle semirette da meno infinito
   -         Una famiglia di sottoinsiemi che copre tutto ed è chiusa per intersezioni fa da base
   -         Topologia indotta su un sottoinsieme
   -         Una base sullo spazio induce una base su ogni sottospazio
   -         Metrica indotta su un sottospazio di uno spazio metrico
   -         La topologia indotta su un sottospazio di uno spazio metrico coincide con la topologia definita dalla metrica indotta. La dimostrazione* è facoltativa.
   -         Intorni di un punto in uno spazio topologico
   -         Ridefinizione dei punti interni, esterni , di frontiera e di aderenza in uno spazio topologico
   -         Ridefinizione della parte interna, esterna, di frontiera e della chiusura per un sottoinsieme di uno spazio topologico
   -         Proprietà di queste parti
   -         Definizione di applicazione continua tra spazi topologici
   -         Un’applicazione è continua se e solo se ha dei sottoinsiemi aperti come retroimmagine degli aperti
   -         La composizione di applicazioni continue è continua
   -         Definizione di omeomorfismo tra spazi topologici
   -         Definizione di spazi omeomorfi
   -*         L’omeomorfismo tra spazi topologici è una relazione di equivalenza
   -*  Gruppo degli omeomorfismi di uno spazio in sé
   -*   Esempi di figure omeomorfe e non omeomorfe
   -         Definizione di spazio metrico compatto
   -         Un intervallo chiuso e limitato di R è compatto
   -         Un sottospazio compatto in uno spazio metrico è chiuso
   -         Un sottospazio di uno spazio metrico compatto è compatto se e solo se è chiuso
   -         Il prodotto di spazi metrici compatti è compatto. La dimostrazione* è facoltativa.
   -         Diametro di un sottospazio
   -         Sottoinsiemi limitati
   -         Un sottoinsieme è limitato se e solo se è contenuto in un disco
   -         Un sottoinsieme è limitato se e solo se è contenuto in un disco con centro assegnato
   -         Un sottospazio di R^n è compatto se e solo se è chiuso e limitato
   -         Ricoprimenti e sottoricoprimenti aperti
   -         Esempi
   -         Dato un ricoprimento aperto di uno spazio compatto è possibile ricoprirlo con dischi subordinati di  raggio costante. La dimostrazione* è facoltativa.
   -         Uno spazio metrico è compatto se e solo se ogni suo ricoprimento aperto ammette un sottoricoprimento finito. La dimostrazione* è facoltativa
   -*   Definizione di sottoinsieme totalmente limitato
   -*   Ogni sottoinsieme limitato in R^n è totalmente limitato
   -*   Uno spazio metrico è compatto se e solo se è completo e totalmente limitato
   -         Definizione di spazio topologico compatto
   -         Esempi
   -         Ogni sottospazio chiuso di uno spazio compatto è compatto
   -         Definizione di spazio topologico di Hausdorff
   -         Esempi e controesempi
   -         Un sottospazio compatto di uno spazio di Hausdorff è chiuso. La dimostrazione* è facoltativa.
   -         L’immagine di un compatto secondo un’applicazione continua è compatta
   -         Un’applicazione continua e biiettiva tra uno spazio compatto ed uno di Hausdorff è un omeomorfismo. La dimostrazione* è facoltativa.
   -         Una funzione continua su uno spazio compatto ha massimi e minimo.
   -         Definizione di sottospazi staccati
   -         Due sottospazi sono staccati se e solo se sono aperti nella loro unione. La dimostrazione* è facoltativa.
   -*   Topologia della unione disgiunta
   -         Due sottospazi sono staccati se e solo se la loro unione ha la topologia della unione disgiunta. La dimostrazione* è facoltativa.
   -         Definizione di spazio sconnesso (connesso)
   -         Uno spazio è sconnesso se e solo se è unione disgiunta di due aperti non vuoti
   -         Uno spazio è connesso se e solo se i suoi unici sottoinsiemi aperti e chiusi sono il vuoto e tutto lo spazio
   -         Uno spazio è connesso se e solo se i suoi unici sottoinsiemi con frontiera vuota sono il vuoto e tutto lo spazio. La dimostrazione* è facoltativa.
   -         Caratterizzazione degli intervalli di R. La dimostrazione* è facoltativa.
   -         Un sottoinsieme (non vuoto) di R è connesso se e solo se è un intervallo
   -         L’immagine di un connesso è connessa
   -         Definizione di cammini continui
   -         Spazi connessi per archi
   -         Uno spazio connesso per archi è connesso
   -         Giunzione di cammini
   -         Cammino opposto
   -         Un aperto di R^n è connesso se e solo se è connesso per archi
   -*   Esempio di sottoinsieme del piano connesso ma non connesso per archi
   -*    Uno spazio topologico in cui ogni coppia di punti è contenuta in un connesso è connesso
   -*    L'unione di connessi con intersezione comune non vuota è connessa.