ANALISI MATEMATICA I (f)


A. A. 1996-97

Prof. Francesco Serra Cassano

Argomenti effettivamente svolti

  1. Cenni di teoria degli insiemi ed insiemi N, Z, Q.
    Gli insiemi. Operazioni con insiemi: unione, intersezione, complementare. Proposizioni. Connettivi logici (implicazione, negazione, dimostrazione per assurdo). Relazioni. Prodotto cartesiano di insiemi. Funzioni: dominio e codominio di una funzione; funzioni iniettive, surgettive e biunivoche; restrizione di una funzione. Composizione di funzioni. Funzioni invertibili: legame tra bigettività e invertibilità. Relazioni d'ordine(*). Insieme N (numeri naturali). Principio di induzione. Insiemi Z (interi relativi) e Q (razionali). Cardinalità di un insieme(*). Insiemi finiti ed infiniti. Cardinalità di N, Z e Q(*). Cardinalità dell'insieme delle parti: teorema di Cantor(*). Teorema di Schröder-Cantor(*).

  2. Insieme R (numeri reali). Insieme C (numeri complessi).
    Definizione assiomatica di R. Assioma di completezza (di Dedekind). Estremi superiore ed inferiore(o). Proprietà di Archimede in R(o). Densità di Qin R. Esistenza della radice n-esima in R(o). Rappresentazione decimale dei numeri reali (o). Cardinalità di R(o). Topologia su R: intorni, insiemi aperti e chiusi, punti di accumulazione, punti isolati, punti di frontiera, chiusura e parte interna di un insieme. Teorema di Bolzano-Weierstrass (ogni insieme limitato ed infinito ammette almeno un punto di accumulazione). Insieme C. Rappresentazione algebrica e trigonometrica (forma polare) di un numero complesso. Formula di De Moivre: radici n-esime in C.

  3. Successioni di numeri reali.
    Successioni di numeri reali. Successioni convergenti: definizione di limite (finito) di una successione, unicità del limite. Successioni superiormente e/o inferiormente limitate, successioni limitate: limitatezza di una successione convergente. Successioni divergenti: definizione di limite infinito di una successione, unicità. Insieme Rbar (retta reale estesa): definizione, punti di accumulazione di un sottoinsieme di R in Rbar. Limite di somma, prodotto e rapporto di successioni. Teorema del confronto (o dei due carabinieri). Teorema della permanenza del segno. Forme indeterminate. Successioni monotone. Limiti di successioni monotone. Definizione di e (numero di Nepero). Definizione di potenza con esponente reale e di logaritmo e loro proprietà. Limiti notevoli. Massimo e minimo limite di una successione e loro caretterizzazioni. Legami fra limite e massimo e minimo limite di successioni. Successioni e topologia: caratterizzazione della chiusura di un insieme di R mediante successioni, sottosuccessioni, teorema di Weierstrass (da ogni successione limitata si può estrarre una sottosuccessione convergente), insiemi compatti di RR. Criterio di Cauchy per successioni.

  4. Serie numeriche.
    Termine generale di una serie, somme parziali. Serie convergenti: definizione di serie convergente, somma di una serie. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie a termini non negativi. Criterio del confronto: caratterizzazione di e mediante serie: irrazionalità di e (o). Criterio della radice e del rapporto. Criterio di convergenza di Cauchy per serie. Serie geometrica, armonica ed esponenziale. Serie a termini di segno qualunque: convergenza assoluta di una serie.Rapporti tra la convergenza assoluta e la convergenza di una serie. Criterio di Leibniz. Criterio di Dirichlet(*).

  5. Limiti di funzioni.
    Funzioni reali di una variabile reale. Estremo superiore ed inferiore di una funzione reale: funzioni inferiormente e/o superiomente limitate, funzioni limitate. Minimo e massimo di una funzione su un insieme. Operazioni con funzioni: somma, prodotto, rapporto di funzioni. Grafico di una funzione. Funzioni monotone. Rapporti tra monotonia ed invertibilità di una funzione. Limite (finito od infinito) di una funzione reale di variabile reale in un punto di R. Caratterizzazione del limite di una funzione mediante successioni. Limite di somma, prodotto, rapporto di funzioni. Limite di una funzione composta. Teorema dei due carabinieri e della permanenza del segno. Funzioni convergenti, divergenti ed infinitesime: definizioni. Carattere locale dell'operazione di limite: il limite di una funzione in un punto dipende dal comportamento della funzione in un intorno del punto. Limite destro e sinistro. Limiti di funzioni monotone. Limiti notevoli. Criterio di convergenza di Cauchy per funzioni(o).

  6. Funzioni continue.
    Definizione di continuità di una funzione in un punto ed in un insieme. Somma, prodotto, rapporto, composizione di funzioni continue. Spazio C0(A). Punti di discontinuità di una funzione; vari tipi di discontinuità. Punti di discontinuità di funzioni monotone(*). Teorema della permanenza del segno. Teorema di esistenza degli zeri per una funzione continua e teorema dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass sul massimo e minimo di funzioni continue sui compatti. Funzioni uniformemente continue: definizione, legami con la limitatezza. Teorema dell'uniforme continuità (una funzione continua su un compatto è uniformemte continua). Funzioni lipschitziane. Continuità della funzione inversa se il dominio è un intervallo(o) o un compatto(o).

  7. Integrazione secondo Riemann.
    Funzioni semplici. Integrale di funzioni semplici e prime proprietà. Funzioni integrabili (secondo Riemann) su R e definizione di integrale di una funzione. Criteri di integrabilità. Proprietà dell'integrale: somma, prodotto di funzioni integrabili, monotonia dell'integrale; stabilità delle funzioni integrabili rispetto al valore assoluto e al max. e min. di funzioni(o). Sottoclassi importanti di funzioni integrabili : funzioni limitate e continue su R eccetto al più un numero finito di punti, nulle al di fuori di un compatto; funzioni limitate su R, monotone e nulle al di fuori di un intevallo chiuso e limitato. Integrale esteso ad un intervallo: funzioni integrabili su un intervallo chiuso e limitato. L'integrale di una funzione non dipende dai valori che la funzione assume in un numero finito di punti. Additività dell'integrale esteso ad un intervallo. Esempio di una funzione limitata non integrabile (secondo Riemann): funzione di Dirichlet(*). Teorema della media integrale. Interpretazione geometrica dell'integrale.

  8. Derivata.
    Rapporto incrementale di una funzione in un punto. Derivata di una funzione in un punto e funzione derivata in un insieme. Interpretazione geometrica della derivata: retta tangente. Rapporti tra continuità e derivabilità. Prime regole di derivazione: derivata della somma e del prodotto per scalare. Derivate di funzioni elementari. Max. e min. relativi, punti stazionari di una funzione: ricerca di max. e min. relativi. Proprietà golobali di una funzione legate alla derivabilità: Teoremi di Rolle, Lagrange (o del valor medio) e di Cauchy. Studio della monotonia di una funzione attraverso la derivata prima.

  9. Legami fra derivazione ed integrazione: calcolo di integrali.
    Funzione integrale: lipschitzianità delle funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive di una funzione. Caratterizzazione delle primitive di una funzione continua su un intervallo: calcolo dell'integrale di una funzione continua su un intevallo chiuso e limitato. Altre regole di derivazione: derivata del prodotto, rapporto e della composizione di due funzioni; derivata della funzione inversa. Integrazione di funzioni elementari. Regole di integrazione: integrazione per parti e per sostituzione, integrazione di funzioni razionali.

  10. Teoremi di de l'Hôpital. Derivate successive. Formula di Taylor.
    Teoremi di de l'Hôpital per il calcolo di limiti di forme indeterminate. Derivate successive: formula di Leibiniz. Spazi Ck(A). Convessità (concavità) di una funzione su un intervallo: definizione, caratterizzazione tramite la crescenza del rapporto incrementale e con la crescenza della derivata prima. Punti di flesso di una funzione: ricerca dei punti di flesso. Infiniti ed infinitesimi: confronto di infiniti ed infinitesimi. Teorema (formula) di Taylor: polinomio di Taylor di grado n di una funzione, resto n-esimo. Rappresentazione integrale del resto n-esimo: resto secondo Lagrange e Cauchy. Determinazione di punti di max. e min. relativo di una funzione attraverso la formula di Taylor. Sviluppi di Taylor di funzioni elementari. Calcolo di ordini di infinitesimo e di limiti di funzioni tramite la formula di Taylor. Cenni sulla serie di Taylor di una funzione(*).
(*) = argomento facoltativo
(o) = si richiede solo la conoscenza dell'enunciato senza dimostrazione

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Modalità e svolgimento dell'esame

L'esame finale consiste in una prova scritta ed una orale. Vi è inoltre la possibilità di essere esentati dalla prova scritta mediante il superamento di tre prove scritte parziali che si svolgeranno durante l'anno accademico.

Date dei prossimi appelli d'esame:

Scritto: 17.9.97 ore 9,00
Orale: 18.9.97 ore 9,00

Scritto: 6.10.97 ore 9,00
Orale: 7.10.97 ore 9,00