ANALISI MATEMATICA I (m)

A.A. 1996/97
Prof. Mario Miranda

Programma

1. I numeri interi sono il più piccolo insieme infinito. Il principio d'induzione.
   
2. Numeri interi primi: ogni intero è prodotto di interi primi. I primi sono infiniti.
   La decomposizione in fattori primi è unica.
3. Sviluppo del binomio. Il numero di Nepero: limite di successioni e somma di una serie. Il numero di Nepero è irrazionale.
   
4. Somma degli inversi degli interi e degli inversi dei loro quadrati. Criterio della radice per la somma di una serie di numeri positivi. Limite della radice n-ma di n e di n! .
   
5. Limite di una successione, limiti infiniti. Proprietà algebriche dei limiti. Successioni senza limite. Convergenza assoluta delle serie e convergenza semplice. Ancora sul criterio della radice e del rapporto.
6. Serie di potenze: serie esponenziale e serie trigonometriche.
   
7. Funzioni inverse delle funzioni continue: un teorema di Weierstrass.
   
8. Teorema del valor medio per le funzioni derivabili.
   
9. Derivata del logaritmo e dell'arcotangente; loro sviluppo in serie di potenze.
   
10. Derivata dell'arcoseno e sviluppo del binomio di Newton.
    
11. Teorema di Abel e raggio di convergenza della serie delle derivate. Derivata della somma di una serie di potenze.
    
12. Uniforme continuità e non delle funzioni continue. Integrale delle stesse su intervalli chiusi e limitati. Integrale come limite delle somme.
    
13. Teorema fondamentale del Calcolo integrale.
    
14. Integrazione per parti e formula di Taylor. Sviluppo in serie di potenze dell'esponenziale e delle funzioni trigonometriche.
    
15. Le funzioni iperboliche e le loro inverse.
    
16. Integrabilità delle funzioni monotone. Esistenza di funzioni limitate non integrabili.
    
17. Integrazione per sostituzione.
    
18. Teorema di Weierstrass sulla approssimazione delle funzioni continue con polinomi.
    
19. Numeri complessi: espressione algebrica e trigonometrica.
    
20. Radici dei numeri complessi: Teorema fondamentale dell'Algebra.
    
21. Serie di potenze complesse: esponenziale, logaritmo e funzioni trigonometriche.
    
22. Sviluppo in serie trigonometrica della parte reale e della parte immaginaria dell'esponenziale complesso. Serie di Fourier.
    
23. Convergenza della serie di Fourier delle funzioni 2π periodiche e dotate di derivata prima continua. Calcolo della somma degli inversi dei quadrati degli interi.
    
24. Studio del grafico di una funzione e regola di De l'Hôpital.
    
25. Risoluzione della equazione dei moti armonici.
    
26. Risoluzione del problema del moto dei pianeti.
    
27. Continuità e olomorfia delle funzioni complesse di variabile complessa.
    
28. Condizioni di Cauchy-Riemann.
    
29. Integrale complesso, integrabilità dei polinomi e Lemma di Goursat.
    
30. Formula di Cauchy. Analiticità delle funzioni olomorfe.
    
31. Armonicità della parte reale e della parte immaginaria delle funzioni olomorfe.
    
32. Integrali su curve, Teorema di Liouville e Teorema del Massimo modulo.
    
33. Teorema del minimo modulo e Teorema fondamentale dell'Algebra.
    
34. Proprietà della media delle funzioni armoniche. Principio del massimo e del minimo per le stesse.
    
35. Problema di Dirichlet per le funzioni armoniche su un cerchio. Formula di Poisson.
    
36. Equazione del calore unidimensionale: unicità ed esistenza della soluzione.
    
37. Equazione della corda vibrante: esistenza e unicità della soluzione.
    

Le note del docente sono disponibili in copisteria e possono essere fotocopiate a spese degli interessati. Una lista di testi utili per la consultazione è altresì messa a disposizione.

Modalità e svolgimento dell'esame

Gli studenti saranno invitati a sostenere cinque esercitazioni scritte parallelamente allo svolgimento del corso. L'esame finale è orale.

Date dei prossimi appelli d'esame: