ANALISI SUPERIORE

1^o MODULO

Prof. Francesco Serra Cassano

Oggetto e obiettivi del corso

Programma

• 1. Spazi di Sobolev e formulazione variazionale del problema di Dirichlet per equazioni ellittiche.
  Problema di Dirichlet per il laplaciano: formulazione classica, introduzione alla formulazione debole, Principio di Dirichlet. Spazi di Sobolev W1,p (W) e H1,p (W): definizione e prime proprietà. Densità di funzioni regolari in W1,p : approssimazione per convoluzione. Prodotto e composizioni in spazi di Sobolev. Spazi di Sobolev Wm,p.Prolungamento di funzioni di tipo Sobolev. Disuguaglianze di tipo Sobolev: disuguaglianza di Sobolev - Gagliardo - Nirenberg, disuguaglianza di Poincaré e di Morrey. Teorema di compattezza di Rellich - Kondrakov. Spazio W01,p (W). Formulazione variazionale del problema di Dirichlet per il laplaciano: teoremi di Stampacchia e Lax-Milgram. Esistenza ed unicità della soluzione debole per un operatore ellittico in forma di divergenza. Cenni sulla regolarità delle soluzioni deboli. Principio del massimo.

• 2. Spazi BV e superfici di area minima.
  Problema della superficie di area minima: formulazione geometrica del problema, minimi del funzionale dell'area. Equazione delle superfici mi-nime. Spazio BV(W) e prime proprietà. Approssimazione con funzioni re-golari in BV(W). Teorema di compattezza per BV(W). Teorema di esisten-za di superfici minime. Formula di coarea per funzioni BV(W) e disuguaglianza isoperimetrica.

Date dei prossimi appelli d'esame: