CALCOLO DELLE VARIAZIONI

1^o MODULO

Prof. Mario Miranda

Programma

• 1. Il problema isoperimetrico nel piano. Curve piane semplici chiuse continue di lunghezza finita. Rappresentazione lipschitziana delle suddette. Misura della regione piana limitata racchiusa dalle stesse.
• 2. Dimostrazione della diseguaglianza isoperimetrica attraverso l'uso dello sviluppo in serie di Fourier delle funzioni lipschitziane periodiche. Diseguaglianza di Bessel e identità di Parceval.
• 3. Equazione di Eulero della brachistocrona. Proprietà della cicloide: soluzione della suddetta equazione, isocronismo delle oscillazioni del pendolo cicloidale. Isocronismo delle piccole oscillazioni di un pendolo qualunque.
• 4. Il problema della esistenza delle geodetiche in uno spazio metrico.
• 5 Spazi metrici compatti e il Teorema di Arzelà.
• 6. Semicontinuità della lunghezza e il Teorema di Hilbert.
• 7. Proprietà differenziali delle geodetiche classiche. Geodetiche sulla sfera.
• 8. Il problema dell'elettrostatica. Unicità della soluzione.
• 9. Il problema sul cerchio bucato: non esistenza.
• 10. Osservazione di Gauss.
• 11. Il problema con dato lipschitziano: osservazione di Hilbert - von Neumann.
• 12. Teorema di esistenza di Hilbert.
• 13. Risoluzione del problema dell'elettrostatica nell'ipotesi di Hilbert.
• 14. Condizione sufficiente per la validità dell'ipotesi di Hilbert.

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Modalita e svolgimento dell'esame

Date dei prossimi appelli d'esame: