GEOMETRIA I (m)

A. A. 1996-97

Prof. Alberto Tognoli

Oggetto e obiettivi del corso

Scopo del corso è l'insegnamento dell'algebra lineare e di alcune sue applicazioni nello studio delle coniche e delle quadriche.
Sarà introdotto anche lo spazio proiettivo in modo da poter giungere alla classificazione proiettiva di coniche e quadriche.

Argomenti effettivamente svolti

  1. MATRICI E SISTEMI LINEARI
    Matrici. Determinante di una matrice. Proprietà dei determinanti. Caratteristica. Teorema di Binet. Sistemi lineari.

  2. SPAZI VETTORIALI
    Spazi vettoriali e loro basi. Proprietà di sottospazi vettoriali. Omomorfismi. Endomorfismi. Forma canonica di Jordan.

  3. PRODOTTI SCALARI
    Forme bilineari e forme quadratiche. Prodotti scalari. Matrici ortogonali e matrici simmetriche. Prodotti hermitiani.

  4. COORDINATE SULLA RETTA E NEL PIANO
    Retta orientata e suoi segmenti. Coordinate sulla retta. Retta numerica. Coordinate cartesiane ortogonali nel piano. Nozione di coordinate cartesiane oblique. Coordinate polari.

  5. PROBLEMI ELEMENTARI DI GEOMETRIA ANALITICA DEL PIANO
    Proiezione di un segmento. Distanza di due punti. Calcolo dell'area di un triangolo. Divisione di un segmento in un rapporto dato. Trasformazione delle coordinate cartesiane in una traslazione parallela degli assi. Trasformazione delle coordinate cartesiane ortogonali in una rotazione degli assi. Trasformazione delle coordinate cartesiane ortogonali nel cambiamento dell'origine e nella rotazione degli assi.

  6. PROPRIETÀ GEOMETRICHE DELLE CURVE DEL SECONDO ORDINE
    L'ellisse. Definizione dell'ellisse e deduzione della sua equazione canonica. Studio della forma dell'ellisse. Eccentricità dell'ellisse. Espressioni razionali dei raggi focali dell'ellisse. Costruzione dell'ellisse per punti. Equazioni parametriche dell'ellisse. Ellisse come proiezione di una circonferenza su un piano. Ellisse come sezione di un cilindro circolare. L'iperbole. Definizione di iperbole e deduzione della sua equazione canonica. Studio della forma dell'iperbole. Eccentricità dell'iperbole. Espressioni razionali dei raggi focali dell'iperbole. Direttrici dell'ellisse e dell'iperbole. La parabola. Deduzione dell'equazione canonica della parabola. Studio della forma della parabola. Equazione polare dell'ellisse, dell'iperbole e della parabola. Diametri delle curve del secondo ordine. Proprietà ottiche dell'ellisse, dell'iperbole e della parabola. L'ellisse, l'iperbole e la parabola come sezioni coniche.

  7. ALCUNI PROBLEMI ELEMENTARI DI GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO
    Coordinate cartesiane ortogonali nello spazio. Nozione di vettore libero. Proiezione di un vettore su un asse. Proiezioni di un vettore sugli assi coordinati. Coseni direttori. Distanza di due punti. Divisione di un segmento in un dato rapporto.

  8. OPERAZIONI LINEARI SUI VETTORI
    Definizione delle operazioni lineari. Proprietà principali delle operazioni lineari. Differenza di vettori. Teoremi fondamentali sulle proiezioni. Sviluppo dei vettori in componenti.

  9. OPERAZIONI LINEARI SUI VETTORI
    Definizione delle operazioni lineari. Proprietà principali delle operazioni lineari. Differenza di vettori. Teoremi fondamentali sulle proiezioni. Sviluppo dei vettori in componenti.

  10. PRODOTTO SCALARE DI VETTORI
    Il prodotto scalare e le sue proprietà fondamentali. Espressione del prodotto scalare di vettori mediante le relative coordinate.

  11. SUPERFICI DEL SECONDO ORDINE
    Ellissoide ed iperboloide. Cono del secondo ordine. Paraboloidi. Cilindri del secondo ordine. Generatrici rettilinee dell'iperboloide a una falda. Costruzioni di V. Suchov.

  12. ELEMENTI DI TEORIA DEI DETERMINANTI
    Determinanti del secondo ordine e sistemi di due equazioni di primo grado a due incognite. Sistema omogeneo di due equazioni di primo grado a tre incognite. Determinanti del terzo ordine. Complementi algebrici e minori. Soluzione e studio di un sistema di tre equazioni di primo grado a tre incognite. Nozione di determinante d'ordine qualunque.

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Modalità e svolgimento dell'esame

L'esame consiste in una prova scritta ed una orale.

Date dei prossimi appelli d'esame:

Scritto: 24.9.97 ore 9,00
Orale: 24.9.97 ore 9,00