GEOMETRIA II (m)

A. A. 1996-97

Prof. Edoardo Ballico

Programma

1. Spazi topologici e applicazioni continue:
   • Spazi metrici: § 1
     
   • Spazi topologigi: § 3
     
   • Sottoinsiemi e spazi topologici (assioni di numerabilità): § 1
     
   • Applicazioni continue: §4

2. Esempi:
   • Sottospazi : §5
   • Prodotti: § 6
   • Topologia: §7

3. Propietà topologiche
   • Assiomi di separazione; solo Haussdorff, regolare e normale; il Lemma di Urisohn Teorema 8.10 solo il caso metrizzabile; saltati gli Esempi 8.11 (pp.96-99); definizione di varietà topologica: § 8
   • Compattezza: dimostrazione del teorema di Tichonoff solo per prodotti di un numero finito di spazi compatti; saltatodimostrazione del Teorema Fondamentale dell'Algebra 9.8: § 9
   • Paracompattezza, numerabilmente compatto, compatto per successioni; numero di Lebesgue di un ricoprimento aperto di spazio metrico; successioni di Cauchy; spazi metrici completi; compattezza = compattezza per successioni in uno spazio metrico (Teorema 10.13 ed Esercizio 6, pag. 125); saltata la nozione di "seconda categoria" e il teorema di Baire: § 10
   • Connessione: definizione, componente connessa, prodotto di spazi connessi; i sottoinsiemi connessi di R, connessione per archi, prodotto di connessi per archi: § 10

4. Gruppo fondamentale e rivestimenti:
   
   • Definizione di omotopia di applicazioni continue, di gruppo fondamentale e di rivestimenti;
   • Senza dimostrazione l'esistenza di rivestimenti universali;
   • Esempi (spazi contrattili e il cerchio);
   • Gruppi liberi su un insieme di generatori, prodotto libero di gruppi e somma malgamata di gruppi: il teorema di Seifert -Van Kampen in piena generalità ma senza dimostrazione;
   • Calcolo di gruppi fondamentali (Sⁿ, l'otto);

5. Varietà differenziabili
   • Funzioni e applicazioni differenziabili e varietà: § 19
   • Esempi: § 20
   • Spazi tangenti: § 21
   • Differenziale: § 22
   • Orientabilità (cenno): § 23
   • Diffeomorfismi: § 24
   • Immersioni e summersioni: enunciati senza dimostrazione il teorema del Dini, il teorema delle funzioni implicite e il teorema del rango costante: § 25-26
   • Campi di vettori: § 28
   • Partizioni C all'infinito dell'unità (cenni e applicazioni): § 27 e 29;

6. Geometria differenziale di curve e superfici:
   • Curve differenziabili: § 30
   • Classificazione delle curve regolari di R^N (teorema di Frenet- Serret: § 31
   • Superfici di R^N: isometrie e prima forma fondamentale, cenno sulla definizione di carietà Riemanniana: § 32
   • Superfici di R³: seconda forma fondamentale e curvatura (punti ellittici, iperbolici, ombelicali): § 34 e 35
   • Proprietà globali delle superfici di R³: superfici compatte con curvatura gaussiana maggiore di 0 (teorema 36.4) ed esistenza dipunti P S R³, S compatta co K(P) maggiore di 0 (teorema 36.5): § 36
   • Definizione di derivata covariante; senza dimostrazione il teorema Egregium: § 37
   • Definizione di Geodetiche e scrittura dei simboli di Christoffel: § 38
   • Discussione sulle geometrie non euclidee: § 39

Testi consigliati

E. SERNESI, Geometria 2, Bollati Boringhieri

Modalità e svolgimento dell'esame

Date dei prossimi appelli d'esame:

Scritto: 9.10.97 ore 9,00
Orale: 10.10.97 ore 9,00