ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA

1^o MODULO

A. A. 1996-97

prof. Vinicio Moauro

Argomenti effettivamente svolti

Cinematica dei Sistemi Continui:
configurazioni di un sistema continuo, funzione densità associata ad una configurazione, moti regolari di un sistema continuo, velocità e accelerazione di una particella in un moto. Punto di vista lagrangiano e euleriano nello studio del moto, campo euleriano delle velocità, linee di corrente, moti stazionari, caso dei moti rigidi. Derivate sostanziali o lagrangiane, campo euleriano dell accelerazioni. Studio delle deformazioni di un sistema continuo rispetto ad una configurazione di riferimento: tensore di dilatazione e tensore di deformazione, direzioni e terne principali di deformazione, interpretazione fisica delle componenti del tensore di deformazione. Tensore di deformazione linearizzato. Tensore velocità di deformazione relativo ad un moto di un sistema continuo: direzioni e terne principali del tensore velocità di deformazione, interpretazione fisica delle componenti del tensore velocità di deformazione, caratterizzazione degli atti di moto rigidi mediante l'annullamento del tensore velocità di deformazione. Analisi dell'atto di moto di un sistema continuo. Dilatazione cubica nell'intorno di un punto, condizione di incompressibilità. Derivata sostanziale di un integrale di volume.
Dinamica dei sistemi continui:
Principio di conservazione della massa, equazione di continuità. Equazioni cardinali della Meccanica. Sforzi specifici attorno ad un punto, teorema di Cauchy sugli sforzi, tensore degli sforzi, osservazione di Cauchy. Equazione fondamentale della meccanica dei sistemi continui, simmetria del tensore degli sforzi. Condizioni al contorno. Problema della determinazione del moto di un sistema continuo, leggi costitutive.
Meccanica dei fluidi:
leggi costitutive dei fluidi newtoniani, coefficienti di viscosità, equazioni di Navier-Stokes. Statica dei fluidi: fluidi soggetti a sollecitazioni conservative, fluidi pesanti, legge di Archimede, fluidi barotropici. Dinamica dei fluidi incompressibili: equazioni del moto e condizioni al contorno in forma adimensionale, numero di Reynolds. Equazioni di Stokes e equazioni di Eulero. Esempi di moti stazionari di fluidi viscosi: moti alla Poiseuille, moti alla Couette. Fluidi perfetti: equazioni del moto e condizioni al contorno, teorema di unicità per i fluidi omogenei; vettore vortice, equazione di diffusione di Beltrami, teorema di Lagrange sulla conservazione della vorticità. Moti irrotazionali di fluidi perfetti barotropici soggetti a forze di volume conservative: formula di Bernouilli, teorema di Torricelli. Dinamica dei fluidi compressibili: teorema delle forze vive, primo e secondo principio della termodinamica, equazione dell'energia, equazione di stato, caso isotermo e caso adiabatico, gas perfetti.
Meccanica dei sistemi elastici:
forma lagrangiana delle equazioni del moto e delle condizioni al contorno, potenziale termodinamico, equazione dell'energia in forma lagrangiana, lavoro delle forze interne espresso mediante le caratteristiche di deformazione, legame tra caratteristiche degli sforzi e caratteristiche di deformazione. Sistemi elastici: equazioni della elasticità isoterma lineare, equazioni della elastostatica isoterma lineare.

Complementi

Preliminari sulle equazioni alle derivate parziali del secondo ordine in due variabili: problemi fisici schematizzati mediante equazioni alle derivate parziali (eq. del potenziale delle velocità di un fluido incompressibile, eq. del potenziale newtoniano, eq. del potenziale elettrostatico, eq. delle onde elettromagnetiche, eq. di conduzione del calore, eq. di diffusione dei fluidi). Problema di Cauchy. Equivalenza tra condizioni al contorno sulla derivata normale e sulle derivate parziali. Teorema di unicità della soluzione. Classificazione (equazioni di tipo iperbolico, parabolico ed ellittico). Riduzione a forma canonica.
Equazioni differenziali di tipo iperbolico: l'equazione delle corde vibranti, l'equazione delle onde soddisfatta dal potenziale elettrico e dal potenziale vettore magnetico per effetto delle equazioni di Maxwell.
Risoluzione dell'equazione delle corde vibranti con la formula di d'Alambért. Continuità della soluzione rispetto ai dati iniziali. Problemi di regolarità nel caso della corda semilimitata e limitata. Teorema di Fourier (enunciato). Risoluzione dell'equazione delle corde vibranti con il metodo di separazione delle variabili, con studio della convergenza e della regolarità della soluzione espressa in serie. Soluzione espressa in serie tramite sviluppo in serie di Fourier della formula di d'Alambért. Corda pizzicata e percossa.
Equazioni differenziali di tipo parabolico: l'equazione di conduzione del calore in una sbarretta rettilinea uniforme ricavata dalla legge di Fourier e dalla legge fondamentale della calorimetria. Principio del massimo e teorema di unicità della soluzione. Continuità della soluzione rispetto ai dati iniziali ed al contorno. Risoluzione dell'equazione di conduzione del calore con il metodo di separazione delle variabili, con studio della convergenza e della regolarità della soluzione espressa in serie. La funzione di Green per l'equazione di conduzione del calore e le sue proprietà. Miglioramento della regolarità della soluzione espressa in serie.
Equazione di Laplace: funzioni armoniche fondamentali in due e tre dimensioni. Problema di Dirichelet e problema di Neumann. Prima e seconda formula di Green. Formula del valore di una funzione armonica all'interno di un dominio una volta noto il valore al bordo della funzione e della derivata normale al bordo in tre e due dimensioni. Formula del valor medio. Principio del massimo e teorema di unicità della soluzione del problema di Dirichlet, teorema di unicità a meno di una costante additiva per la soluzione del problema di Neumann. Continuità della soluzione del problema di Dirichlet rispetto ai dati al contorno. Soluzione del problema di Dirichlet bidimensionale con il metodo di separazione delle variabili in coordinate polari, con studio della convergenza e della regolarità della soluzione espressa in serie. Integrale di Poisson e sue proprietà. Funzione di Green per il problema di Dirichlet in due e tre dimensioni. Risoluzione del problema di Dirichlet su una sfera e su un cerchio.

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Date dei prossimi appelli d'esame:

Orale: 24.9.97 ore 9,00
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