LOGICA MATEMATICA (m)
1o MODULO
A. A. 1996-97
Dott. Stefano Baratella
Argomenti effettivamente svolti
Sintassi della logica proposizionale e semantica dei connettivi. Tautologie. Tavole di verita' per scoprire tautologie. Conseguenza logica. Teorema di sostituzione. Insiemi di connettivi funzionalmente completi. Forma normale congiuntiva e disgiuntiva delle formule. Regole di deduzione naturale per i connettivi proposizionali. Deduzioni. Teorema di validita' per la logica proposizionale. Insiemi consistenti e massimali consistenti.
Soddidsfacibilita' degli insiemi massimali consistenti. Teorema di completezza per la logica proposizionale. Teorema di compattezza ed applicazioni.
Logica dei predicati del primo ordine: definizione di struttura, lunguaggio, termini, formule.
Variabili libere e vincolate in una formula. Sostituzione di un termine per una variabile in una formula. Fenomeno di cattura di variabili. Definizione semantica di base. Conseguenza logica.
Varianti alfabetiche di una formula. Regole di deduzione naturale per quantificatori ed uguaglianza. Consistenza e massimale consistenza di insiemi di formule predicative. Lemma di Zorn. Insiemi di Henkin. Estensione di un insieme massimale consistente ad un insieme di Henkin in un linguaggio arricchito. Soddisfacibilita' di un insieme di Henkin. Teorema di completezza per la logica dei predicati. Teorema di compattezza ed applicazioni. Non esprimibilita' a primo ordine della finitezza. Teoremi di Löwenheim-Skolem e conseguenze: modelli numerabili della teoria del primo ordine dei numeri reali, modelli nonstandard dell'aritmetica formalizzata di Peano. Omomorfismi di strutture. Isomorfismi, immersioni elementari. Elementare equivalenza. Criterio per sottostruttura elementare.
Indicizzazione di una struttura. Caratterizzzazione dell'elementare immergibilita'. Modelli nonostandard numerabili dell'aritmetica formalizzata di Peano e della teoria del primo ordine dei numeri reali. Teoremi di Löwenheim-Skolem per estensioni/sottostrutture elementari. Teorie complete. Teorie categoriche in qualche cardinalita'. Esistenza, a meno di isomorfismi, di un unico ordine totale denso e senza estremi di cardinalita' numerabile. Teorema di Vaught. Completezza della teoria dei campi algebricamente chiusi di fissata caratteristica. Principio di Lefschetz.
Eliminazione dei quantificatori. Eliminazione dei quantificatori per la teoria dell'ordine totale denso e senza estremi. Relazioni fra eliminazione dei quantificatori, model completezza e completezza di una teoria. Insiemi e strutture di Skolem. Indiscernibili. Enunciato del teorema di Ramsey.
Strutture contenenti come insieme di indiscernibili un prefissato ordine totale. Inviluppo di Skolem di una struttura e sue proprieta'. Relazioni fra gruppo degli automorfismi di un insieme totalmente ordinato e gruppo degli automorfismi di una struttura che contiene quell'insieme come insieme di indiscernibili. Modelli con (molti) automorfismi. Cardinalita' del gruppo degli automorfismi del campo complesso.
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Modalità e svolgimento dell'esame
L'esame finale per ciascun modulo comprende una prova scritta ed una prova orale.
La prova scritta consiste nella risoluzione di esercizi scelti fra quelli proposti periodicamente durante il corso (alcuni fra questi esercizi vengono discussi e risolti durante le ore di esercitazioni).
Date dei prossimi appelli d'esame:
Scritto: 12.9.97 ore 9,00
Orale: 12.9.97 ore 15,00
Scritto: 26.9.97 ore 9,00
Orale: 26.9.97 ore 15,00