METODI MATEMATICI DELLA FISICA (f)

A. A. 1996-97

Prof. Sergio Zerbini

Oggetto e obiettivi del corso

Argomenti effettivamente svolti

Numeri complessi. Condizioni di Cauchy-Riemann. Rappresentazione integrale di Cauchy. Teorema di Morera. Sviluppi di Taylor e di Laurent.
Teorema dei residui e applicazioni. Sviluppo di Mittag-Leffler. Prolungamento analitico. Lemma di Reimann. Principio di riflessione di Schwartz. La funzione Gamma di Eulero e la funzione zeta di Riemann. Il metodo di Laplace. Funzioni di Bessel.

2. ELEMENTI DI ANALISI FUNZIONALE E TEORIA DELLE DISTRIBUZIONI

Richiami sugli spazi vettoriali topologici. Spazi metrici e normati. Spazi di Banach. Spazi Eclidei. Spazi di Hilbert. Sistemi ortonormali in uno spazio di Hilbert. Sviluppo in serie di Fourier. Teorema di Fejer. Completezza del sistema trignonometrico. Polinomi ortogonali. Trasformata di Fourier. Teorema di Plancherel. Trasformate di Laplace. Trasformate di Mellin.
Spazi di distribuzioni e applicazioni. Operazioni sulle distribuzioni. Distribuzioni temperate. Trasformate di Fourier delle distribuzioni temperate. Soluzioni fondamentali.
Operatori e funzionali lineari in uno spazio di Hilbert. Operatori limitati. Operatori compatti. Teorema di Riez. Aggiunto di un operatore. Operatori autoaggiunti. Proiettori. Operatori isometrici e unitari. Spettro di un operatore. Decomposizione spettrale di operatori autoaggiunti compatti. Alternativa di Fredholm. Problemi di Sturm-Lioville. Operatori autoaggiunti non limitati. Criteri di autogiunzione. Decomposizione spettrale di operatori autoaggiunti e unitari. L'operatore posizione e l'operatore impulso.

Testi consigliati

E.C. TITCHMARSH, The theory of functions, Oxford University Press
A. KOLMOGOROV, S. FOMINE, Elementi di teoria delle funzioni e dell'analisi funzionale, Editori Riuniti
V.S. VLADIMIROV, Equazioni della fisica matematica, Editori Riuniti L. AMERIO, Analisi matematica, Vol I, II. UTET

Modalità e svolgimento dell'esame

Date dei prossimi appelli d'esame: