ANALISI MATEMATICA I (f)

A. A. 1997-98

Prof. Gabriele Anzellotti (1o semestre)
Prof. Mimmo Iannelli (2o semestre)

Programma

1o semestre

  1. Esponenziale. Modelli di accrescimento per moltiplicazione. Progressione geometrica o funzione esponenziale discreta. Esponenziale sui razionali. Funzione logaritmo come funzione inversa dell'esponenziale (dove è definita). Esponenziale e logaritmo reale: esistenza e assioma di continuità della retta. [Prerequisiti da controllare e da richiamare: Numeri per contare: i numeri naturali. Numeri per misurare: i numeri razionali. Operazioni e potenze. Calcolo con le frazioni. Rappresentazione decimale e binaria dei numeri. Calcolo con espressioni che contengono lettere ed equazioni elementari. Uso di calcolatrici tascabili.]
  2. Grafici di funzioni elementari. Rappresentazione dei numeri sulla retta, piano cartesiano, sottoinsiemi della retta e del piano e loro descrizione. Rappresentazione grafica di dati e di funzioni. Grafici di funzioni elementari: polinomi, esponenziale e logaritmo, semplici funzioni razionali, funzione valore assoluto, funzioni definite a tratti. Come leggere sul grafico le proprietà di una funzione. Operazioni funzionali e corrispondenti trasformazioni di grafici. Grafici di funzioni composte. Scale logaritmiche. Uso di programmi per tracciare grafici su computer. [Prerequisiti da controllare e da richiamare, al livello opportuno: linguaggio degli insiemi e operazioni elementari su di essi, nozione di relazione e di funzione, funzioni composte, funzioni iniettive e suriettive, funzioni biiettive e funzione inversa, connettivi tra proposizioni logiche, quantificatori, negazione di una proposizione che contiene quantificatori e connettivi].
  3. Pendenza di una retta e funzioni trigonometriche. Pendenza di una retta in un piano cartesiano. Angoli e loro misura. Funzioni trigonometriche elementari, loro grafici e loro relazioni. "Risoluzione dei triangoli". Alcune formule.
  4. Derivata di una funzione. Velocità media e pendenza media. Nozione di tangente ad un grafico, e di pendenza di un grafico, in un punto. Calcolo approssimato della pendenza di alcune funzioni. Nozione di derivata come limite del rapporto incrementale. Derivata della funzione esponenziale e numero e di Nepero. Definizione di limite. Calcolo di alcune semplici derivate. Formule per la derivazione di una somma, prodotto e funzioni composte. Uso di programmi per il calcolo simbolico su computer. Prime applicazioni della derivata allo studio del grafico di funzioni: massimi e minimi, funzioni monotone.
  5. Area e volume. Calcolo approssimato dell'area di un cerchio: approssimazione per difetto e per eccesso. Definizione id area di un insieme piano. Volume. Insiemi misurabili. Condizioni per l'esistenza dell'area e assioma di continuità. Il problema del calcolo dell'area e del volume.
  6. Integrale di una funzione. Integrale di una funzione reale di variabile reale, definito a partire dalla nozione di area. Funzioni positive e funzioni a segno variabile. Calcolo di integrali di funzioni lineari a tratti. Calcolo approssimato di integrali. Linearità e monotonia dell'integrale.
  7. Funzione integrale e teorema fondamentale del calcolo. La funzione integrale di una funzione. Il teorema fondamentale del calcolo per una funzione costante a tratti. Idee per la dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo. Integrale orientato. Primitive di una funzione. Calcolo di integrali e di aree utilizzando il teorema fondamentale. Esempi di integrali su insiemi illimitati e di funzioni illimitate.
  8. Metodi per la ricerca delle funzioni primitive. Una tabella di primitive. Integrazione per sostituzione e integrazione per parti. Uso di programmi per il calcolo simbolico su computer.
  9. Successioni, serie e definizione di limite. Successione e serie armonica. Successione e serie geometrica. Successioni crescenti e serie a termini positivi. Limite di una successione e somma di una serie. Somma della serie geometrica. Operazioni sui limiti, teoremi di confronto.
  10. Limiti di funzioni e funzioni continue. Definizione di limite per funzioni definite su di un intervallo a valori reali. Proprietà dei limiti. Infinitesimi e infiniti. Funzioni continue. Continuità della funzione composta di due funzioni continue. Esempi di funzioni discontinue. Enunciato del teorema degli zeri e del teorema di Weierstrass.
  11. Derivate di ordine superiore e formula di Taylor. Derivata seconda. Funzioni convesse. Approssimazione locale cn polinomi di primo e secondo grado. Massimi e minimi relativi. Formula di Taylor. Cenno sulla serie di Taylor, con esempi relativi ad alcune funzioni elementari. Ulteriori applicazioni dell'analisi matematica allo studio del grafico di funzioni.
  12. Numeri complessi. Introduzione dei numeri complessi come scritture del tipo a + ib, dove a e b sono numeri reali. Operazioni e coniugio. Rappresentazione sul piano. Forma trigonometrica. Radici complesse. Enunciato del teorema fondamentale dell'algebra. Esponenziale complesso e formula di Eulero. Forma esponenziale.
  13. Equazioni differenziali. Esempi di equazioni differenziali e metodo di separazione delle variabili. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: equazioni omogenee, soluzioni particolari, soluzione generale. Problema di Cauchy. Problemi di contorno.
  14. Funzioni di più variabili, campi di vettori e integrali di linea, principio di Cavalieri. Funzioni di più variabili. Rappresentazioni grafiche, curve di livello, sezioni. Derivate parziali. Massimi e minimi. Campi di vettori. Divergenza e rotazione. Differenziali esatti e differenziali chiusi. Integrali di linea di un campo di vettori. Principio di Cavalieri e volume di un solido. Volume di un solido di rotazione.

2o semestre

  1. Assiomi per i numeri naturali e per i numeri reali. Assiomi di Peano. Principio di induzione. Assiomi algebrici e assiomi di ordinamento dei numeri reali. Assioma di Archimede. Estremo superiore e assioma di continuità.
  2. Convergenza di successioni e serie. Limite di una successione. Unicità del limite. Permanenza del segno. Le successioni monotone hanno limite. Una successione converge se e solo se tutte le sue sottosuccessioni convergono allo stesso limite. Criterio di convergenza di Cauchy. Criteri di convergenza per serie a termini positivi. Se converge la serie dei valori assoluti allora anche la serie converge. Serie dipendenti da un parametro. Serie di potenze. Serie esponenziale.
  3. Sottoinsiemi dei reali e limiti di funzioni reali di variabile reale. Distanza. Intorni. Punti di accumulazione. Insiemi aperti e insiemi chiusi. Insiemi compatti. Limite su di un sottoinsieme dei reali.
  4. Proprietà globali delle funzioni continue e delle funzioni derivabili. Continuità uniforme.
  5. Risolubilità di equazioni.
  6. Approssimazione locale e globale di una funzione. Applicazione al calcolo dei limiti.
  7. Integrabilità di funzioni di variabile reale. Integrale di Riemann e nozione di funzione integrabile. Integrabilità delle funzioni monotone e delle funzioni continue. Funzioni discontinue integrabili. Dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo. Complementi sulla ricerca delle funzioni primitive. Funzioni la cui primitiva non si può esprimere in termini di funzioni trascendenti elementari. Integrali su insiemi illimitati e di funzioni illimitate. Criteri di convergenza per gli integrali e confronto con le serie.
  8. Esercizi di riepilogo sullo studio delle funzioni e sulle equazioni differenziali.

Testi consigliati

Modalità e svolgimento dell'esame