ANALISI MATEMATICA I (m)

Prof. Mario Miranda

Programma

1. I numeri interi sono il più piccolo insieme infinito.
2. Il principio d'induzione.
3. Sviluppo del binomio.
4. Numeri interi primi: ogni intero è prodotto di interi primi.
5. I primi sono infiniti.
6. La decomposizione in fattori primi è unica.
7. I numeri razionali e la loro espressione decimale.
8. Reciproci dei numeri primi.
9. Radici dei numeri primi.
10. Ogni espressione decimale illimitata è un numero.
11. Le espressioni decimali e le successioni crescenti di razionali.
12. I numeri reali.
13. Il numero di Nepero.
14. Successioni monotone e loro limite.
15. Limite di una successione qualunque: esistenza e non.
16. Successioni estratte.
17. Proprietà algebriche del limite di una successione.
18. Somma di una serie.
19. Somma degli inversi degli interi e degli inversi dei loro quadrati.
20. Serie esponenziale.
21. Il numero di Nepero è irrazionale.
22. Convergenza assoluta delle serie e convergenza semplice. Ancora sul criterio della radice e del rapporto.
23. Criterio della radice per la somma di una serie.
24. Criterio del rapporto.
25. Criterio di Leibniz.
26. Prodotto di serie.
27. Funzioni reali di variabile reale.
28. Funzioni continue.
29. Primo teorema di Weierstrass.
30. Funzioni inverse delle funzioni continue.
31. Secondo teorema di Weierstrass.
32. Derivata di una funzione.
33. Condizione necessaria della derivabilità.
34. Teorema di Lagrange o del valor medio.
35. La funzione esponensiale.
36. Le funzioni trigonometriche.
37. Formula di Taylor
38. Sviluppo in serie di potenze della funzione esponenziale.
39. Sviluppo in serie di potenze delle funzioni trigonometriche.
40. Uniforme continuità e non delle funzioni continue.
41. Integrale delle funzioni continue suintervalli chiusi e limitati.
42. Teorema della media integrale.
43. La continuità non è condizione necessariaper l'integrabilità.
44. Teorema fondamentale del Calcolo integrale.
45. Calcolo d'integrali.
46. Integrazione per parti.
47. Ancora sulla formula di Taylor.
48. Integrazione per sostituzione.
49. Continuità delle funzioni definite mediante una serie di potenze.
50. Derivabilità delle funzioni definite mediante una serie di potenze.
51. Derivata del logaritmo e dell'arcotangente; loro sviluppo in serie di potenze.
52. Derivata dell'arcoseno e sviluppo del binomio di Newton.
53. Le funzioni iperboliche e le loro inverse.
54. Terzo teorema di Weierstrass.
55. I numeri complessi.
56. Espressione algebrica dei numeri complessi.
57. Espressione trigonometrica dei numeri complessi.
58. Radici dei numeri complessi.
59. Il teorema fondamentale dell'Algebra.
60. Serie di potenze complesse.
61. Esponenziale complesso.
62. Funzioni trigonometriche complesse.
63. Le formule di Eulero.
64. Il logaritmo complesso.
65. Espressione trigonometrica dello sviluppo dell'esponenziale.
66. Polinomi e serie trignonometriche.
67. Serie di Fourier delle funzioni periodiche.
68. Quarto teorema di Weierstrass.
69. Convergenza della serie di Fourier delle funzioni periodiche e dotate di derivata prima continua.
70. Calcolo della somma degli inversi dei quadrati degli interi.
71. Studio del grafico di una funzione.
72. Regola di De l'Hôpital.
73. Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine.
74. Equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine.
75. Risoluzione della equazione dei moti armonici.
76. Risoluzione del problema del moto dei pianeti.
77. Continuità delle funzioni complesse di variabile complessa.
78. Derivabilità delle funzioni complesse di variabile complessa.
79. Condizioni di Cauchy-Riemann.
80. Integrale complesso.
81. Lemma di Goursat per le funzioni olomorfe.
82. Teorema di Cauchy.
83. Analiticità delle funzioni olomorfe.
84. Caratterizzazione della olomorfia in termini reali.
85. Il teorema di Liouville.
86. Il teorema del massimo modulo.
87. Il teorema del minimo modulo e il teorema fondamentale dell'Algebra.
88. Armonicità della parte reale e della parte immaginaria delle funzioni olomorfe.
89. Proprietà della media delle funzioni armoniche.
90. Principio del massimo e del minimo per le stesse.

Testi consigliati

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Modalità e svolgimento dell'esame