CALCOLO DELLE VARIAZIONI

1o MODULO

A. A. 1997-98

Prof. Mario Miranda

Programma

  1. Il problema isoperimetrico nel piano.
    Curve piane semplici chiuse continue di lunghezza finita.
    Rappresentazione lipschitziana delle suddette.
    Misura della regione piana limitata racchiusa dalle stesse.

  2. Dimostrazione della diseguaglianza isoperimetrica attraverso l'uso dello sviluppo in serie di Fourier delle funzioni lipschitziane periodiche.
    Diseguaglianza di Bessel e identità di Parceval.

  3. Equazione di Eulero della brachistocrona. Proprietà della cicloide: soluzione della suddetta equazione, isocronismo delle oscillazioni del pendolo cicloidale. Isocronismo delle piccole oscillazioni di un pendolo qualunque.

  4. Il problema della esistenza delle geodetiche in uno spazio metrico.

  5. Spazi metrici compatti e il Teorema di Arzelà.

  6. Semicontinuità della lunghezza e il Teorema di Hilbert.

  7. Proprietà differenziali delle geodetiche classiche. Geodetiche sulla sfera.

  8. Il problema dell'elettrostatica. Unicità della soluzione.

  9. Il problema sul cerchio bucato: non esistenza.

  10. Osservazione di Gauss.

  11. Il problema con dato lipschitziano: osservazione di Hilbert - von Neumann.

  12. Teorema di esistenza di Hilbert.

  13. Risoluzione del problema dell'elettrostatica nell'ipotesi di Hilbert.

  14. Condizione sufficiente per la validità dell'ipotesi di Hilbert.

    Testi consigliati

    Modalità e svolgimento dell'esame

    Esame orale a fine corso.