ISTITUZIONI DI ANALISI SUPERIORE (m)

1^o MODULO

Prof. F. Serra Cassano

Programma

1. Misure esterne. Insiemi misurabili rispetto ad una misura esterna. Misure esterne di Borel, di Borel regolari e di Radon. Criterio di misurabilità di Carathéodory per misure esterne su Rⁿ.
2. Risultati di approssimazione per misure esterne di Borel e di Radon su Rⁿ .
3. Costruzione della misura esterna di Lebesgue su Rⁿ e sue proprietà. Insiemi misurabili secondo Lebesgue e loro proprietà.
4. Misura su una s-algebra. Relazione tra misura e misura esterna. Misura di Lebesgue su Rⁿ. Misure di Borel, di Borel regolari e di Radon. Misure complete
5. Funzioni misurabili e boreliane rispetto ad uno spazio di misura (X, A, m) e loro proprietà.
6. Integrazione in uno spazio di misura (X, A, m). Integrazione secondo Lebesgue.
7. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale.
8. Misura prodotto. Teorema di Fubini-Tonelli.
9. Cambiamento di variabile per l'integrale secondo Lebesgue in Rⁿ.

1. Teorema di derivazione di Lebesgue per funzioni monotone. Funzione di Cantor-Vitali. Funzione di Weierstrass. Funzioni a variazione limitata su in intervallo [a,b]: spazio BV([a,b]). Teorema di decomposizione di Jordan.
2. Funzioni assolutamente continue su [a,b]: spazio AC([a, b]). Teoremi fondamentali del calcolo integrale.

1. Spazi vettoriali normati . Spazi di Banach .
2. Spazi L_p e loro prime proprietà . Disuguaglianza di Holder. Disuguaglianza di Minkowski. Norma in L_p e completezza della norma.
3. Dimensione di uno spazio vettoriale. Operatore lineare limitato fra spazi vettoriali normati e sua norma. Duale di uno spazio vettoriale normato e norma duale. Teorema di Riesz.
4. Spazi di Hilbert . Prime proprietà geometriche degli spazi di Hilbert: legge del parallelogramma; teorema di proiezione su un convesso chiuso; proiezione ortogonale su un sottospazio chiuso. Teorema di Riesz-Fréchet. Sistemi ortonormali in uno spazio di Hilbert e base hilbertiana.
5. Cenni sulle serie di Fourier in L₂([-p,p]).

Testi consigliati

Brezis H.: Analisi Funzionale-Teoria ed applicazioni. Liguori, Napoli 1986.
Evans L. C. Gariepy: Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press, Boca Raton 1992.
Rudin W.: Analisi Reale e Complessa, Bollati Boringhieri, Torino 1991.
Tamanini I.: Appunti del corso di Istituzioni di Analisi Superiore, a.a. 1985/86 Università di Trento.

Modalità e svolgimento dell'esame