LOGICA MATEMATICA (m)
1o MODULO
A. A. 1997-98
Dott. Stefano Baratella
Oggetto e obiettivi del corso
Il primo modulo ha per oggetto una introduzione elementare alla logica matematica e non richiede alcun particolare prerequisito. L'obiettivo è quello di presentare dapprima la logica proposizionale classica, come primo esempio molto semplice di sistema logico e di introdurre quindi la logica dei predicati classica fino ad arrivare al teorema di completezza di Gödel.
Nella seconda parte del primo modulo vengono presentati alcuni elementi ed alcuni risultati di teoria dei modelli che consentono interessanti applicazioni in varie aree della matematica. In particolare, vengono generalizzate all'ambito della teoria dei modelli nozioni e costruzioni familiari (sottostrutture, catene di strutture, prodotti diretti, limiti diretti ed inversi...) e ne vengono introdotte di nuove (sottostrutture/estensioni elementari, ultraprodotti ed ultrapotenze...), alcune fra queste di uso sempre più comune nella pratica matematica. Si studiano infine estensioni di strutture il cui gruppo degli automorfismi ha una cardinalità "grande". Per questa seconda parte è richiesta familiarità con nozioni di base di algebra ed algebra lineare.
Ciascun modulo prevede 4 ore di lezione settimanali (tre di teoria ed una di esercitazioni).
Programma
Linguaggi naturali e linguaggi formali, distinzione fra sintassi e semantica. Logica proposizionale. Teoremi e tautologie. Teoremi di completezza e di compattezza per la logica proposizionale. Logica dei predicati. Strutture. Sintassi e semantica della logica dei predicati. Insiemi di Henkin. Teorema di completezza e di compattezza per la logica dei predicati e loro conseguenze. Teoria dei modelli. Teoremi di Löwenheim-Skolem. Teorie complete. Categoricità. Prodotti diretti ed ultraprodotti di strutture. Teorema di Los. Dimostrazione semantica del teorema di compattezza. Insiemi di indiscernibili in una struttura. Automorfismi di strutture. Strutture con gruppo degli automorfismi di cardinalità "grande". Gruppo degli automorfismi del campo complesso.
Testi consigliati
BELL-MACHOVER, A course in mathematical logic, North Holland
VAN DALEN, Logic and structure, Springer
HODGES, Model Theory, Cambridge University Press
DEVLIN, The joy of sets, Springer
KUNEN, Set theory. An introduction to independence proofs, North Holland
Modalità e svolgimento dell'esame
L'esame finale per ciascun modulo comprende una prova scritta ed una prova orale.
La prova scritta consiste nella risoluzione di esercizi scelti fra quelli proposti periodicamente durante il corso (alcuni fra questi esercizi vengono discussi e risolti durante le ore di esercitazioni).