METODI DI APPROSSIMAZIONE (m)

1o MODULO

A. A. 1997-98

Prof. Alberto Valli

Oggetto e obiettivi del corso

Il corso tratta di metodi numerici di approssimazione nell'ambito della risoluzione di sistemi algebrici lineari, della approssimazione di funzioni, e della risoluzione di equazioni differenziali lineari a derivate parziali.
Si affrontano i problemi relativi alla risoluzione approssimata di sistemi lineari, con metodi diretti ed iterativi, all'approssimazione di funzioni tramite funzioni polinomiali a tratti (elementi finiti), e si presentano i metodi di tipo variazionale per la risoluzione di equazioni differenziali a derivate parziali (metodo di Galerkin e sue varianti).
L' effettiva risoluzione approssimata di equazioni ellittiche, paraboliche ed iperboliche verrà illustrata a grandi linee, fornendo stime di stabilità e dell'errore, e valutando l'efficacia degli algoritmi per la risoluzione dei sistemi lineari in questi specifici contesti.
Obiettivo del corso è di far apprendere agli studenti alcuni fra gli algoritmi più utilizzati per l'approssimazione delle soluzioni delle equazioni a derivate parziali lineari, fino al punto di metterli nella condizione di poter effettivamente implementare gli schemi introdotti (almeno nei casi più semplici) e di giungere così alla determinazione effettiva della soluzione approssimata, valutandone inoltre l'accuratezza in funzione dei parametri del problema.

Programma

  1. RISOLUZIONE DI SISTEMI ALGEBRICI LINEARI
    Metodi diretti: metodo di eliminazione di Gauss, metodo di Cholesky. Metodi iterativi: metodo di Richardson; metodi del gradiente e del gradiente coniugato.
  2. INTERPOLAZIONE AD ELEMENTI FINITI
    Triangolazione, funzioni polinomiali a tratti, gradi di libertà. Funzioni di base e loro proprietà. Operatore di interpolazione e stima dell'errore. Operatori di proiezione e stima dell'errore.
  3. METODI DI APPROSSIMAZIONE DI TIPO VARIAZIONALE
    Formulazione debole delle equazioni a derivate parziali. Lemma di Lax-Milgram. Metodo di Galerkin e sue varianti. Lemma di Cea. Stima dell'errore. Metodi di avanzamento in tempo per equazioni di evoluzione.
  4. EQUAZIONI ELLITTICHE
    Formulazione debole dei problemi al contorno. Condizioni di risolubilità. Stabilità e convergenza per gli elementi finiti. Matrice di stiffness: sue proprietà. Precondizionamento. Aspetti algoritmici.
  5. EQUAZIONI DI CONVEZIONE-DIFFUSIONE
    Esempi uno-dimensionali di instabilità. Numero di Peclet. Schemi di tipo upwind. Metodo di diffusione artificiale. Metodi SUPG, GALS, DWG.
  6. EQUAZIONI PARABOLICHE
    Formulazione debole. Condizioni di risolubilità. Metodo di semi-discretizzazione in spazio. Stabilità e convergenza. Metodo di discretizzazione totale. Stabilità e convergenza. Aspetti algoritmici.
  7. EQUAZIONI IPERBOLICHE
    Formulazione debole. Condizioni di risolubilità. Metodo di semi-discretizzazione in spazio. Metodo di discretizzazione totale.

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Modalità e svolgimento dell'esame

Esame orale sui contenuti del corso.