GEOMETRIA  (info)

(un modulo nel 1° semestre)

A.A.  1998-99

Prof. Pino Vigna Suria

Programma del corso:

2 - TEORIA DEGLI INSIEMI.
Insieme, elemento, appartenenza, unione, intersezione, complementare, prodotto cartesiano, insieme delle parti, relazioni d'ordine e d'equivalenza.
Funzioni., funzioni iniettive e suriettive, corrispondenza biunivoca.

4 - SPAZI VETTORIALI.
Definizione ed esempi di spazio vettoriale. Conseguenze immediate degli assiomi. Sottospazi vettoriali: esempi e controesempi. Intersezione e somma di sottospazi. Somma diretta.
Insiemi di generatori. Vettori linearmente indipendenti. Spazi vettoriali di dimensione finita.
Basi di uno spazio vettoriale e sua dimensione.
Dimensione dello spazio somma e somma diretta di due sottospazi.

5 - APPLICAZIONI LINEARI.
Applicazioni lineari, monomorfismi, epimorfismi e isomorfismi. Rango. Composizione. Struttura di spazio vettoriale su Hom (V,W). Spazio duale.
Teorema sulla nullità + rango.Conseguenze immediate.
Matrici associate a applicazioni lineari.
Operazioni tra matrici, loro significato; le matrici quadrate con somma e prodotto sono un anello.
Isomorfismo tra matrici ed applicazioni lineari.
Trasformazioni invertibili e matrici invertibili.
Matrici elementari ed operazioni elementari sulle righe e sulle colonne di una matrice.

6 - DETERMINANTI .
Definizione assiomatica di una funzione determinante.
Sua esistenza e unicità.
Formule di sviluppo del determinante.
Teorema di Binet.
Determinante della trasposta di una matrice.

7 - SISTEMI LINEARI.
Rango di una matrice; rango per righe=rango per colonne.
Caratterizzazione del rango mediante i minori.
Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli.
Metodo di Gauss-Jordan per la risoluzione di sistemi lineari.
Calcolo dell'inversa di una matrice e teorema di Cramer.

8 - FORME BILINEARI.
Forme bilieari e matrice associata. Nucleo destro e sinistro. Forme non degeneri. Prodotti scalari. Processo di Gram-Schmidt.
Forma di polarizzazione. Diagonalizzazione delle forme simmetriche. Legge di inerzia (teorema di Sylvester).
Sottospazi ortogonali.
 
 

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