Dott. P. Zanolli

A.A. 1999/2000

Programma

Approssimazione di funzioni
Definizione del problema ed excursus su possibili soluzioni.
Interpolazione lineare a tratti e interpolazione parabolica a tratti.
Interpolazione di Lagrange: definizione del metodo e dimostrazione di esistenza e unicità.
Algoritmo alle differenze divise di Newton: definizione e applicazioni.
Valutazioni algoritmiche dei metodi presentati. Fenomeno di Runge.
Interpolazione composita o a tratti.
Metodo di Horner per la valutazione di un polinomio in un punto.
Definizione della retta ai minimi quadrati.
Integrazione Numerica.
Definizione del problema ed excursus su possibili soluzioni.
Formule di tipo interpolatorio. Definizione di grado di precisione di un metodo.
Formule di Newton-Cotes aperte e chiuse, semplici e composite. Calcolo dei pesi.
Formule di quadratura del punto medio, dei trapezi e di Cavalieri-Simpson semplici e composite, grado di precisione e andamento dell'errore.
Sistemi lineari
Richiami di definizioni e teoremi di algebra lineare.
Metodo di eliminazione di Gauss: definizione, strategia di Pivoting, numero di operazioni
Metodi di fattorizzazione LU di Crout e di Doolittle. Equivalenza tra metodo di Gauss e metodo di Doolittle.
Calcolo dell'inversa di una matrice.
Metodo di fattorizzazione per matrici tridiagonali.
Metodi iterativi ottenuti mediante lo splitting A=P-N. Teorema di convergenza (enunciato)
Metodi di Jacobi, di Gauss-Seidel e S.O.R.: definizione e teoremi di convergenza (enunciati)
Test d'arresto per metodi iterativi.
Numero di condizionamento di una matrice. Due esempi di matrici mal condizionate.
Equazioni non lineari in R.
Localizzazione degli zeri (cenni)
Metodo di bisezione: definizione, ordine e fattore di riduzione dell'errore. Numero di iterazioni per il calcolo della soluzione con un errore prefissato.
Metodi delle corde, delle secanti e delle tangenti (Newton-Raphson): definizione, significato geometrico, ordine di convergenza (enunciato).
Test d'arresto.
Zeri di polinomi: metodo di Horner.
Cenni alla risoluzione di sistemi non lineari
Equazioni differenziali
Problemi di Cauchy del 1° ordine: cenni teorici.
Metodo di Eulero in avanti e all'indietro. Definizione e proprietà. Convergenza ed errori di arrotondamento: enunciato e considerazioni.
Stabilita numerica su problema modello.
Metodi Runge-Kutta.
Esercizi
Elementi di programmazione in Fortran90 con esercitazioni al calcolatore su metodi e algoritmi studiati.
Testo consigliato.
A. Quarteroni - Elementi di calcolo numerico - Ed. Esculapio, Bologna.

Modalità di svolgimento dell'esame

L'esame si svolgerà in due parti.
Una prima parte di esercizi di programmazione in Fortran90 o di utilizzo di alcuni programmi già pronti per l'applicazione di metodi e algoritmi studiati in teoria. I testi degli esercizi da svolgere si possono reperire presso l'ufficio fotocopie della Facoltà di Scienze.
Il lavoro svolto dovrà essere consegnato alcuni giorni prima del colloquio orale, seconda parte dell'esame.