Prof. A. Cassa

A.A. 1999/2000

Programma generale
 

LOGICA: proposizioni, connettivi, predicati, quantificatori.

INSIEMI: costruzione di insiemi ed operazioni su di essi. Prodotto
cartesiano, relazioni di equivalenza e di ordine. Numeri naturali,
principio di induzione. Applicazioni. Numeri cardinali, insiemi numerabili.
Lemma di Zorn.

ALGEBRA LINEARE: spazi numerici, spazi vettoriali, sottospazi, basi,
dimensione. Applicazioni lineari, nucleo ed immagine. Sistemi lineari,
matrici ed operazioni su di esse, rango e determinante. Teorema di
Rouche`-Capelli. Matrici associate ad applicazioni lineari e cambiamenti di
base.

Programma: parte teorica

1) logica proposizionale

2) negazione di una proposizione, tabelle dei valori di verita`

3) connettivi “e” e “o” e loro tabelle dei valori di verita`

4) identita` generali delle proposizioni

5) connettivi logici binari

6) implicazione ed equivalenza logica di proposizioni, proprieta` generali

7) regola di deduzione

8) connettivo “aut”

9) predicati logici

10) quantificatore universale ed esistenziale

11) regole di negazione e di sostituzione per i quantificatori

12) insiemi, uguaglianza tra insiemi

13) elementi di un insieme, insiemi definiti da predicati

14) insieme vuoto, insiemi con un solo elemento

15) insiemi definiti esplicitamente dai loro elementi

16) unione ed intersezioni di insiemi, proprieta` generali

17) complentare universale di un insieme ed insieme differenza

18) sottoinsiemi di un insieme, proprieta` generali

19) insieme delle parti di un insieme

20) paradosso di Russell

21) complementare relativo

22) coppia ordinata

23) prodotto cartesiano di insiemi

24) relazioni tra insiemi, relazioni logiche e insiemistiche

25) relazione di equivalenza, esempi ed osservazioni

26) classi di equivalenza

27) insieme quoziente

28) partizione di un insieme (facoltativo)

29) corrispondenza tra relazioni di equivalenza e partizioni (facoltativo)

30) relazioni d’ordine, deboli e strette, totali e parziali

31) minimi, massimi, minimali e massimali di un insieme ordinato

32) ordinamento indotto su un sottoinsieme

33) insiemi bene ordinati, esempi ed osservazioni

24) successivo di un elemento non massimo negli insiemi bene ordinati (facoltativo)

25) numeri naturali

26) dimostrazione degli  “assiomi di Peano” (facoltativa)

27) principio di induzione, esempi

28) applicazioni tra insiemi e funzioni, dominio e codominio

29) immagine di un insieme, dimostrazione di alcune proprieta`

30) applicazione identica, inclusioni e restrizioni

31) applicazioni iniettive, suriettive e biiettive

32) inversa di una applicazione biiettiva, osservazioni

32) controimmagine di insiemi, proprieta` generali

33) composizione di due applicazioni, associativita` della composizione ed osservazioni

34)  insiemi equipotenti, equivalenza definita dall’equipotenza

35) non equipotenza tra insiemi finiti e infiniti (dimostrazione facoltativa)

36) equipotenza tra insiemi finiti  (dimostrazione facoltativa)

37) gli insiemi  N  ed  R  non sono equipotenti (dimostrazione facoltativa)

38) un insieme non e` equipotente all’insieme delle sue parti (dimostrazione facoltativa)

39) enunciato del teorema di Schroeder-Bernstein

40) numeri cardinali e potenza degli insiemi, osservazioni

41) cardinalita` di  N (alef con zero) ed  R  (ci gotico)

42) gli spazi numerici  R^n

43) campi di numeri, esempi

44) spazi vettoriali, esempi ed osservazioni

45) sottospazi vettoriali, esempi, controesempi e osservazioni

46) combinazione lineare di vettori, sottospazio generato da un insieme di vettori

47) insieme di generatori di uno spazio vettoriale

48) insiemi liberi, osservazioni

49) un vettore e` combinazione di vettori liberi in modo “unico” (senza dimostrazione)

49) base di uno spazio vettoriale, esempi ed osservazioni

50) ogni insieme di generatori contiene una base (dim. facoltativa)

51) ogni insieme libero si estende ad una base (dim. facoltativa)

52) esistono basi per ogni spazio vettoriale (dim. facoltativa)

53) due basi di uno spazio vettoriale sono equipotenti (senza dimostrazione)

54) esempi ed psservazioni sulle basi

55) applicazioni lineari, esempi ed osservazioni

56) isomorfismi tra spazi vettoriali, osservazioni

57) spazi vettoriali isomorfi, osservazioni

58) due spazi vettoriali sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione

59) nucleo ed immagine di una applicazione lineare

60) il nucleo e l’immagine sono sottospazi vettoriali

61) dimensione del nucleo  +  dimensione dell’immagine  =  dimensione dell’ambiente

62) rango per righe e rango per colonne di una matrice

63) sistemi lineari omogenei e non

64) condizioni per l’ esistenza delle soluzioni di un sistema lineare

65) rango per righe = rango per colonne (senza dim.)

66) applicazione lineare tra spazi numerici associata ad una matrice

67) matrice associata ad una applicazione lineare tra spazi numerici

68) isomorfismo con uno spazio numerico dato dalle componenti rispetto ad una base

69) matrice associata ad una applicazione lineare tra spazi vettoriali con basi assegnate

70) cambiamento di matrice conseguente ad un cambiamento di base (dim. facoltativa)

71) matrice associata all’identita` rispetto a due basi diverse

Programma: esercitazioni

Esercizi di logica matematica: tabelle di verità di connettivi logici, tautologie e contraddizioni; ragionamento per assurdo; predicati in una o
due variabili.

Esercizi di teoria degli insiemi: operazioni con gli insiemi; relazioni d'equivalenza; insiemi definiti da predicati, esempi di paradosso.
Applicazioni; immagine di un elemento di un insieme; immagine inversa; applicazioni iniettive e suriettive.

Applicazioni lineari e matrici: esercizi di calcolo di una matrice associata ad un'applicazione lineare; matrice associata all'identità;
descrizione del nucleo e dell'immagine di un'applicazione lineare in termini di sistemi lineari associati; descrizione di applicazioni lineari con
dato nucleo.

Sistemi lineari e matrici: esempi di sistemi lineari; forma matriciale di un sistema lineare; l'insieme delle matrici  è uno spazio
vettoriale (dimostrazione); prodotto riga per colonna fra matrici; matrici a gradini; matrici diagonali; risoluzione di un sistema lineare
rappresentato da una matrici a gradini; matrice orlata e teorema di Rouchè Capelli per matrici in forma a gradini (discussione dell'esistenza e
unicit`à delle soluzioni ); algoritmo di Gauss; il teorema di Rouchè Capelli per matrici qualsiasi (dimostrazione del teorema a partire dal
teorema di Rouchè Capelli per sistemi rappresentati da matrici a gradini); l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è uno
spazio vettoriale (dimostrazione); l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo è uno spazio affine.

Determinanti: determinante di una matrice di ordine 2 e soluzioni del sistema lineare associato; determinante di ordine 2 come applicazione
bilineare alternante che vale 1 sull'identità; forma di Laplace del determinante di una matrice di ordine n; proprietà del determinante;
determinante di matrici diagonali e triangolari; esistenza ed unicità delle soluzioni di un sistema lineare: formula di Cramer (dimostrazione);
formula di Binet (senza dimostrazione); calcolo dell'inversa di una matrice invertibile (dimostrazione); il rango per riga e quello per colonna
coincidono (dimostrazione); calcolo del rango di una matrice qualsiasi; soluzioni di un qualsiasi sistema lineare in un campo qualsiasi
(dimostrazione); esempi riassuntivi.