2° bimestre

Prof. A. Cassa

a.a. 1999/2000
 

Programma: parte teorica

1) prodotti scalari,  osservazioni ed esempi

2) prodotti scalari  in R^2 (facoltativo)

3) norma definita da un prodotto scalare, osservazioni ed esempi

4) disuguaglianza di Schwartz; quando vale l’uguaglianza

5) le prime tre proprieta` della norma; osservazione sulla norma della somma

6) semirette uscenti dall’origine ed ampiezza della loro apertura

7) teorema di Pitagora

8) identita` del parallelogramma

9) formule di polarizzazione

10) caratterizzazione delle norme che provengono da un prodotto scalare

11) metrica definita da un prodotto scalare e prime proprieta`

12)  quando vale l’uguaglianza nella disuguaglianza triangolare

13) traslazioni e similitudini in uno spazio vettoriale

14) identita` del parallelogramma per la metrica

15) isometrie e omotetie

16) caratterizzazione delle metriche che provengono da un prodotto scalare

17) basi ortonormali, osservazioni

18) complemento ortogonale di un sottospazio

19) il complemento ortogonale di un sottospazio e` un sottospazio

20) dimensione del complemento ortogonale di un sottospazio

21) processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt

22) isometria con R^n indotta da una base ortonormale

23) cambio di origine in uno spazio vettoriale

24) spazi dei vettori applicati e spazio dei vettori liberi

25) vettori applicati paralleli

26) spazi affini

27) spazi di vettori applicati e spazio dei vettori liberi in uno spazio affine

28) isomorfismi naturali

29) traslazioni e similitudini per uno spazio affine

30) applicazioni affini, esempi ed osservazioni

31) applicazione lineare associata ad una applicazione affine

32) applicazioni affini associate ad una applicazione lineare  tra vettori liberi

33) isomorfismi affini, esempi ed osservazioni

34) isomorfismo affine naturale tra uno spazio affine e lo spazio dei suoi vettori liberi

35) affinita` di uno spazio affine, esempi ed osservazioni

36) gruppo delle affinita`

37) sottospazi affini, esempi ed osservazioni

38) sottospazi affini paralleli

39) esistenza di buone catene di sottospazi affini (dimostrazione facoltativa)

40) dimensione di uno spazio affine

41) sistemi di riferimento per uno spazio affine

42) isomorfismo tra uno spazio affine ed R^n indotto da un sistema di riferimento

43) punti in posizione generale

44) espressione matriciale per il cambiamento di coordinate affini

45) metriche euclidee e spazi metrici euclidei, esempi

46) affinita` isometriche e omotetiche tra spazi metrici euclidei, osservazioni

47) matrici ortogonali

48) affinita` isometriche di R^n

49) affinita` omotetiche di R^n

50) prodotto scalare per i vettori liberi (dimostrazione facoltativa)

51) affinita` isometrica naturale con lo spazio dei vettori liberi

52) sistemi di riferimento ortonormale

53) affinita` isometrica naturale tra uno spazio metrico euclideo ed R^n

54) espressione matriciale per il cambiamento di coordinate tra due riferimenti

55) equivalenza affine tra sottoinsiemi di uno spazio affine

56) classificazione affine per sottoinsiemi di uno spazio affine

57) equivalenza metrica tra sottoinsiemi di uno spazio affine

56) classificazione metrica per sottoinsiemi di uno spazio affine

57) classificazione affine delle coniche del piano affine

58) classificazione metrica delle coniche del piano affine

Programma: esercitazioni

Geometria affine ed euclidea del piano: equazione cartesiana e parametrica di una retta ; punto medio di un segmento; angoli fra rette; formula
delle distanza punto - retta (dimostrazione in  dotato del prodotto scalare standard ); distanza fra punti nel piano affine; coniche: esempi;
definizione di una conica; matrici che definiscono la stessa conica; significato geometrico della classificazione metria delle coniche; polinomio
caratteristico ed autovalori di una matrice di ordine 2 e 3; invarianti metrici; caratterizzazione di matrici di rotazione nello spazio vettoriale
  (dimostrazione); proiezioni ortogonali; esempio: la circonferenza, esistenza e unicità di una circonferenza passante per una terna di punti;
traslazioni di assi cartesiani; forme canoniche di coniche e loro classificazione metrica; esempi ed esercizi riassuntivi.