Prof. Luca Migliorini
a.a. 1999-2000
Programma
IL CAMPO DEI NUMERI COMPLESSI
Operazioni tra numeri complessi.
Rappresentazione polare di un numero complesso.
Potenze e radici di numeri complessi.
POLINOMI
Proprieta' elementari dei polinomi.
Radici e divisibilita'. Molteplicita' di una radice.
Enunciato del teorema fondamentale dell'algebra.
Fattorizzazione di polinomi a coefficienti reali e complessi.
SPAZI VETTORIALI
Assiomi della struttura di spazio vettoriale.
Lo spazio K^n. Combinazioni lineari. Dipendenza lineare.
Generatori e basi di uno spazio vettoriale.
Dimensione di uno spazio vettoriale. Tutte le basi di uno
spazio vettoriale hanno la stessa cardinalita'.
Teorema di completamento della base. Sottospazi.
Relazione di Grassmann
APPLICAZIONI LINEARI
Definizione di applicazione lineare.
Nucleo e Immagine di una applicazione lineare.
Teorema della "nullita' piu' rango".
Un'applicazione lineare e' univocamente individuata dai valori
assunti su una base (senza dimostrazione).
Spazio vettoriale delle applicazioni lineari e sua dimensione.
MATRICI
Lo spazio vettoriale delle matrici a coefficienti in un campo.
Prodotto tra matrici e proprieta'. Matrici Invertibili.
Determinante di una matrice quadrata. Sviluppo di Laplace.
Criterio di invertibilita' di una matrice quadrata.
Matrice associata a una applicazione lineare.
Formula del cambio di base.
SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
Struttura dell'insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari.
Risoluzione di un sistema di equazioni lineari col metodo di Gauss.
DIAGONALIZZAZIONE
Autovalori e autovettori. Autospazio di un autovalore.
Polinomio caratteristico.Matrici simili e
invarianza del polinomio caratteristico.
Lineare indipendenza di autovettori
con autovalori distinti.
Molteplicita' geometrica e algebrica di un autovalore.
Disuguaglianza fondamentale tra le due molteplicita'.
Condizione necessaria e sufficiente per la diagonalizzabilita'
di un endomorfismo.
Testo adottato: S.Lang: Algebra Lineare