MECCANICA RAZIONALE (m)

Prof. Vinicio Moauro

Oggetto e obiettivi del corso

Programma

• Elementi di algebra tensoriale e di analisi tensoriale
• Algebra tensoriale in uno spazio vettoriale euclideo: spazio duale; tensori euclidei; criteri di tensorialità; elementi di algebra esterna.
• Spazi puntuali affini euclidei: coordinate rettilinee e curvilinee.
• Analisi tensoriale: campi vettoriali e tensoriali; differenziazione assoluta e derivazione covariante.
• Teoria qualitativa per le equazioni differenziali ordinarie
• Sistemi di equazioni differenziali del primo ordine: esistenza, unicità, dipendenza continua dai dati iniziali; sistemi periodici e autonomi; linearizzazione intorno ad una punto critico; concetti di stabilità e attrattività; metodo diretto di Liapunov per lo studio della stabilità.
• Sistemi differenziali piani: classificazione dei punti critici; analisi qualitativa delle soluzioni; discussione di Weierstass; applicazioni.
• Meccanica newtoniana
• Questioni di cinematica: cammini e curve regolari di uno spazio affine euclideo tridimensionale; triedro principale; velocità e accelerazione di un punto mobile; moti piani; velocità angolare e velocità areale; moti rigidi; caratterizzazione dell'atto di moto di un moto rigido; teorema di Mozzi; moti relativi; teorema di Coriolis.
• Dinamica del punto libero: equazioni del moto assoluto e relativo; posizioni di equilibrio; integrali primi; teorema delle forze vive; forze conservative; integrale primo dell'energia; forze centrali; analisi qualitativa delle orbite in un moto centrale; il caso kepleriano.
• Dinamica dei sistemi: forze interne e forze esterne; equazioni cardinali; teorema delle forze vive; conservazione dell'energia; problema dei due corpi.
• Dinamica dei sistemi rigidi: operatore d'inerzia; elissoide di inerzia; assi principali; teorema di Huygens-Steiner; energia cinetica, quantità di moto e momento angolare di un corpo rigido; teorema di König; angoli di Eulero; espressione della velocità angolare tramite gli angoli di Eulero; corpo rigido con asse fisso privo di attrito; corpo rigido con punto fisso privo di attrito; equazioni di Eulero; precessioni regolari del giroscopio; rotazioni stazionarie e relativi problemi di stabilità.
• Meccanica analitica
• Meccanica Lagrangiana: sistemi vincolati; cenni sulle varietà differenziabili; varietà delle configurazioni di un sistema ad un numero finito di gradi di libertà; coordinate lagrangiane; sistemi olonomi ed anolonomi; varietà delle configurazioni di un corpo rigido; velocità e spostamenti virtuali; vincoli ideali; equazione simbolica della dinamica; equazioni di Lagrange; funzione di Lagrange; integrali primi dell'energia e di Jacobi; integrali primi dei momenti; teorema di Nöther; potenziale generalizzato; forza di Lorentz; stabilità delle configurazioni di equilibrio; teorema di Lagrange-Dirichlet; problema dell'inversione del teorema di Lagrange-Dirichlet; stabilità dell'equilibrio in presenza di dissipazione completa; piccole oscillazioni intorno ad una configurazione di equilibrio stabile; modi normali.
• Meccanica Hamiltoniana: equazioni di Hamilton; trasformazioni canoniche; parentesi di Lagrange e di Poisson; integrali primi; funzioni generatrici di trasformazioni canoniche; invarianti integrali; teorema di Liouville; metodo di integrazione di Hamilton-Jacobi.
• Principi variazionali: formulazione variazionale delle equazioni di Lagrange; principio dell'azione stazionaria; principio di Maupertuis.

Testi consigliati

• A. LICHNEROWICZ, Elementi di Calcolo Tensoriale, dispense
• L. SALVADORI, Appunti delle lezioni
• T. LEVI-CIVITA, U. AMALDI, Lezioni di Meccanica Razionale, Zanichelli, Bologna
• G. BENETTIN, L. GALGANI, A. GIORGILLI, Appunti di Meccanica Razionale, dispense
• F. BAMPI, M. BENATI, A. MORRO, Esercizi di Meccanica Razionale, ECIG, Genova

Modalità e svolgimento dell'esame