METODI MATEMATICI DELLA FISICA (f)

Prof. Sergio Zerbini

Oggetto e obiettivi del corso

Programma

• Elementi di analisi funzionale. Richiami sugli spazi vettoriali topologici. Spazi metrici e normati. Spazi di Banach. Spazi Euclidei. Spazi di Hilbert. Sistemi ortonormali in uno spazio di Hilbert. Sviluppo in serie di Fourier. Polinomi ortogonali. Operatori e funzionali lineari in uno spazio di Hilbert. Operatori limitati. Operatori compatti. Aggiunto di un operatore. Operatori autoaggiunti. Proiettori. Operatori isometrici e unitari. Trasformate di Fourier. Spettro di un operatore. Decomposizione spettrale di operatori autoggiunti compatti. Spazi di distribuzioni e applicazioni. Problemi di Sturm-Lioville. Operatori autoggiunti non limitati. Criteri di autogiunzione. Decomposizione spettrale di operatori autoggiunti e unitari.
• Funzioni analitiche e applicazioni. Condizioni di Cauchy-Riemann e teorema di Cauchy. Rappresentazione integrale di Cauchy. Sviluppi di Taylor e di Laurent. Teorema dei residui e applicazioni. Prolungamento analitico. La funzione gamma di Eulero e la funzione zeta di Riemann. Metodo di Laplace. Trasformate di Laplace. Trasformate di Mellin.

Testi consigliati

E.C. TITCHMARSH, The theory of functions, Oxford University Press
A. KOLMOGOROV, S. FOMINE, Elementi di teoria delle funzioni e dell'analisi funzionale, Editori Riuniti
V.S. VLADIMIROV, Equazioni della fisica matematica, Editori Riuniti L. AMERIO, Analisi matematica, Vol I, II. UTET

Modalità e svolgimento dell'esame