Oscillatori
Abbiamo riscritto l'equazione del moto per una particella soggetta
ad una forza elastica. Abbiamo poi considerato il caso di un
oscillatore soggetto ad una forza di attrito proporzionale alla
velocità (oscillatore smorzato). Abbiamo visto che, per
piccolo smorzamento, le soluzioni dell'equazione del moto sono
funzioni sinusoidali con ampiezza che decresce esponenzialmente
nel tempo. Abbiamo fatto un cenno anche al caso di smorzamento
critico e di moto sovrasmorzato.
Oscillatore forzato e smorzato
Abbiamo ricavato la soluzione dell'equazione del moto di un
oscillatore forzato e smorzato, come somma di una soluzione
transiente e una soluzione periodica avente la stessa frequenza
della forzante. L'ampiezza dell'oscillazione e lo sfasamento
rispetto alla forzante dipendono dalla frequenza di quest'ultima
in modo interessante: si ottiene un massimo di ampiezza quando
la frequenza della forzante è prossima alla frequenza
propria dell'oscillatore, cioè quella che avrebbe in
assenza di forzante e di smorzamento. Questo effetto si chiama
risonanza.
Risonanza
Abbiamo studiato lo sfasamento in funzione della frequenza e
abbiamo visto che, alla risonanza, l'oscillazione è sfasata
di pi/2 rispetto alla forzante. Abbiamo calcolato la potenza
media (lavoro fatto dalla forzante nell'unità di tempo, mediato
su un periodo di oscillazione) e abbiamo visto che ha un massimo
alla risonanza. Abbiamo definito il fattore di qualità Q
del risonatore e la larghezza di banda.
Oscillatori accoppiati
Abbiamo considerato un sistema costituito da due oscillatori
meccanici collegati da una molla (due masse e tre molle, di cui
due vincolate agli estremi). Abbiamo scritto le equazioni del
moto, che costituiscono un sistema di due equazioni differenziali
accoppiate, lineari. Abbiamo calcolato i modi normali, corrispondenti
ad oscillazioni in fase e in controfase. Abbiamo scritto la soluzione
generale e abbiamo trattato esplicitamente il caso in cui viene
inizialmente eccitato un oscillatore. L'energia passa periodicamente
da un oscillatore all'altro. Nel caso di una catena di N
oscillatori, l'oscillazione si propaga lungo la catena.
Equazione delle onde
Abbiamo visto come si tratta formalmente il passaggio da una catena di
N oscillatori discreti ad un continuo, come nel caso di una corda elastica
che ammette deformazioni longitudinali e/o trasverse. Abbiamo visto
come si può rappresentare in forma matematica una "deformazione" che
si propaga nel tempo con velocità assegnata: in 1D deve essere una
funzione di (x-vt). Tali funzioni sono soluzioni di un'equazione nota
come equazione delle onde. Soluzioni di questo tipo sono le funzioni
che rappresentano le onde, periodiche sia nello spazio che nel tempo.
Abbiamo definito il vettore d'onda, la lunghezza d'onda, la pulsazione,
il periodo, la velocità di fase.
Interferenza
L'equazione delle onde è lineare: combinazioni lineari di
soluzioni sono anch'esse soluzioni. Possiamo trattare in questo modo
i casi di onde sovrapposte. Abbiamo visto: l'interferenza tra due onde
che hanno uguale lunghezza d'onda e periodo, ma fase diversa; il
battimento di due onde che hanno pulsazioni e lunghezze d'onda
diverse di poco; l'onda stazionaria che si genera sommando un'onda
incidente e un'onda riflessa.
Introduzione alla termodinamica
Sistemi termodinamici e grandezze macroscopiche:
volume, densità, pressione, temperatura.
Definizione di pressione, strumenti di misura e
unità. Equilibrio termico. Principio zero della
termodinamica (proprietà transitiva dell'equilibrio
termico). Punti fissi. Esempi: punto del ghiaccio, punto
del vapore, punto triplo dell'acqua. Caratteristiche
termometriche e termometri. Termometri a dilatazione.
Scala Celsius.
Termometri a gas. Gas ideale.
Descrizione e funzionamento di un termometro a gas. Definizione
di temperatura tramite termometri a gas. Limite di gas rarefatti
e comportamento universale.
Gas ideale (o gas perfetto)
Abbiamo riesaminato i termometri a gas per mettere in luce
il comportamento universale dei gas nel limite in cui la
densità si annulla, In questo limite i gas obbediscono
ad una semplice relazione tra pressione, volume e temperatura:
PV=nRθ (equazione di stato dei gas ideali), dove R è detta
costante universale dei gas e n è la quantità di
gas espressa in moli. Abbiamo discusso il significato di
tale risultato empirico.
Equilibrio termodinamico
Quando un sistema è in equilibrio termico, meccanico
e chimico, allora si dice che è in equilibrio
termodinamico. Il suo stato è completamente
determinato da un insieme di coordinate termodinamiche
(macroscopiche), quali la temperatura, il volume, la
pressione, la concentrazione, ecc..
Trasformazioni termodinamiche
Il passaggio da
uno stato di equilibrio ad un altro si chiama trasformazione
termodinamica. La trasformazione può avvenire in
modi diversi. Esempi: trasformazioni isoterme, isobare,
isocore. Una classe di trasformazioni importanti sono
quelle quasistatiche, cioè quelle che avvengono
in modo tale che il sistema si trovi sempre in stati
prossimi all'equilibrio. Tali trasformazioni sono
rappresentate da linee nei diagrammi P-V o P-t, o
simili diagrammi di stato. Abbiamo visto come si
rappresentano le trasformazioni quasistatiche isoterme,
isobare e isocore di un gas ideale in un diagramma P-V.
Calore e lavoro
Abbiamo visto che una trasformazione termodinamica può
coinvolgere scambi di calore e/o lavoro meccanico. Abbiamo
dato una definizione empirica di calore, sulla base dell'effetto
del contatto termico tra sistemi a temperatura diversa. Abbiamo
definito la caloria, la capacità termica e il calore
specifico. Abbiamo visto esempi di procedure per compiere
lavoro su un sistema termodinamico. Abbiamo mostrato che
lavoro e calore possono avere effetti equivalenti e che,
quindi, si può scrivere una relazione quantitativa
tra l'unità di calore (caloria) e l'unità di
lavoro (joule).
Energia interna
Gli esperimenti mostrano che in ogni trasformazione termodinamica
effettuata con soli mezzi adiabatici (nessun contatto termico tra
il sistema e l'ambiente) il lavoro compiuto non dipende dal tipo
di trasformazione ma solo dagli stati iniziale e finale (di
equilibrio). Si può allora definire una funzione delle
coordinate termodinamiche, U, tale che la sua variazione in una
trasformazione generica tra due stati di equilibrio sia proprio
il lavoro compiuto in una qualsiasi trasformazione adiabatica che
li collega (lavoro adiabatico). Tale funzione si chiama energia
interna. La convenzione sul segno è scelta in modo che
un lavoro positivo fatto dal sistema sull'ambiente corrisponde ad
una diminuzione di energia interna del sistema.
Primo principio della termodinamica
In una trasformazione non adiabatica, in cui sono ammessi
contatti termici tra il sistema e l'ambiente, il lavoro compiuto
per passare da uno stato iniziale ad uno stato finale è
generalmente diverso dal lavoro adiabatico. La differenza è
associata a processi non meccanici dovuti al contatto termico.
Si può definire come calore, Q, la differenza tra il lavoro
compiuto dal sistema nella trasformazione, W, e il lavoro che si
otterrebbe connettendo gli stessi stati con una trasformazione
adiabatica. Dato che quest'ultimo è pari alla variazione
di energia interna (con il segno meno), si può scrivere
Q = W + ΔU, ovvero ΔU = Q - W. Questo è noto
come primo principio della termodinamica. La definizione di calore
data in questo modo risulta essere consistente con la definizione
empirica basata sul concetto di caloria. Il primo principio, in
sintesi, sancisce l'esistenza dell'energia interna di un sistema
termodinamico e la sua relazione con il lavoro meccanico eseguito
e il calore scambiato in una trasformazione.
Commenti al primo principio
Abbiamo discusso il significato di calore, lavoro, energia in
trasformazioni termodinamiche. Abbiamo parlato di trasformazioni
cicliche e trasformazioni infinitesime. Abbiamo scritto la
forma differenziale del primo principio. Abbiamo scritto la
variazione infinitesima di energia interna come differenziale
esatto, esprimibile tramite le derivate parziali rispetto alle
coordinate termodinamiche. Abbiamo scritto l'espressione del
lavoro per sistemi idrostatici (dW=PdV) e mostrato che, per
essi, si può calcolare la capacità termica a
volume costante come derivata dell'energia interna rispetto
alla temperatura a volume costante.
Una breve sintesi di questa lezione è disponibile qui, in formato pdf.
Trasformazioni quasistatiche per un gas ideale
Abbiamo discusso alcune semplici trasformazioni quasistatiche:
isocore (volume costante), isobare (pressione costante) e
isoterme (temperatura costante). Abbiamo disegnato le curve
nel diagramma P-V e calcolato il lavoro compiuto dal gas in
ciascuna di esse. Abbiamo considerato anche una trasformazione
ciclica composta da una sequenza di isoterma-isobara-isocora.
Gasi ideali: U dipende solo dalla temperatura
Gli esperimenti mostrano che se un gas rarefatto viene
fatto espandere liberamente (senza lavoro
meccanico) e adiabaticamente (senza scambi di calore) tra due
stati di equilibrio, la temperatura del gas non cambia.
Questo implica che l'energia interna del gas dipende
solo dalla temperatura. Abbiamo definito un gas ideale proprio
come un gas che gode di questa proprietà e che soddisfa
l'equazione di stato PV=nRθ.
Calori specifici di un gas ideale
Il calore specifico a volume costante di un
gas ideale può essere calcolato tramite la derivata
dell'energia interna rispetto alla temperatura (non occorre
specificare se tenendo costante il volume o la pressione,
dato che U dipende solo da θ). Allora il primo
principio della termodinamica può essere riscritto
nella forma δQ = ncvdθ+PdV. Abbiamo anche
definito il calore specifico a pressione costante e abbiamo
mostrato che cp=cv+R. Abbiamo dato una
spiegazione qualitativa del perchè cp è
maggiore di cv, usando l'esempio di un gas in un
cilindro con pistone, a cui viene fornito un certo calore Q
a volume costante o a pressione costante.
Trasformazione adiabatica quasistatica
Abbiamo visto come si comportano le coordinate termodinamiche di
un gas ideale quando si compie una trasformazione adiabatica
quasistatica (lenta espansione o compressione del gas in assenza di
contatti termici con l'ambiente). Abbiamo tracciato la curva
della trasformazione nel diagramma P-V.
Riepilogo delle trasformazioni quasistatiche di un gas ideale
Abbiamo riassunto le proprietà di alcune trasformazioni
quasistatiche di un gas ideale (isoterma, isocora, isobara,
adiabatica) calcolando il lavoro eseguito, il calore scambiato
e la variazione di energia interna.
Esercizio
Esercizio sullo scambio di calore tra un pezzo di
alluminio, inizialmente caldo, e l'acqua in cui viene
immerso, inizialmente più fredda. Calcolo del
calore specifico dell'alluminio.
Esercizio
Calcolo della temperatura finale di due corpi posti a
contatto termico, date le loro capacità termiche.
Esercizio
Scambio di calore tra un metallo inizialmente caldo e un
blocco di ghiaccio, incluse le fasi di fusione del ghiacchio
e evaporazione dell'acqua. Abbiamo parlato dei calori latenti.
Esercizio
Trasformazione isocora e trasformazione isobara tra le stesse
temperature per un gas ideale biatomico.
Esercizio
Trasformazioni isoterma e adiabatica in sequenza per un
gas ideale avente calore specifico incognito. Chiusura
del ciclo con una isocora e considerazioni sull'applicazione
del primo principio.
Esercizio
Due gas separati da un pistone mobile. Una trasformazione
in cui uno dei due gas assorbe calore, l'altro no.
Ciclo di Carnot
Abbiamo discusso il ciclo di Carnot per un gas ideale, composto
da due isoterme e due adiabatiche quasistatiche. Abbiamo visto che
il ciclo è un esempio di macchina termica che produce
lavoro a spese del calore estratto da una sorgente (termostato).
Un secondo termostato, a temperatura più bassa serve a
scaricare il calore che risulta dalla differenza tra il calore
assorbito dalla sorgente calda e il lavoro compiuto dal
sistema nel ciclo. Abbiamo definito il rendimento della
macchina termica generica e lo abbiamo calcolato esplicitamente
per il ciclo di Carnot, trovando che esso dipende solo dal
rapporto tra le temperature dei due termostati che scambiano
calore con il sistema nei tratti isotermi.
Secondo principio della termodinamica (Kelvin-Planck)
Abbiamo parlato in generale dei processi che trasformano
calore in lavoro e viceversa. Abbiamo visto esempi di processi
basati su trasformazioni cicliche (ciclo Diesel, ciclo di
Stirling). Gli esperimenti mostrano che è impossibile
realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia quello
di assorbire una certa quantità di calore da un serbatoio
e di convertirlo completamente in lavoro. Questa affermazione
corrisponde al secondo principio della termodinamica,
nella forma nota come enunciato di Kelvin-Planck. Abbiamo
accennato alle conseguenze in termini di inesistenza dei
moti perpetui.
Macchine frigorifere
Abbiamo visto come sia possibile realizzare trasformazioni
cicliche in cui una certa quantità di calore viene
prelevata da una sorgente fredda, tramite un lavoro fatto
dall'ambiente sul sistema. Una quantità di calore
pari alla somma del lavoro compiuto e del calore
estratto dalla sorgente fredda viene ceduto ad una sorgente
calda. Una trasformazione di questo tipo corrisponde ad una
macchina frigorifera. Abbiamo definito il coefficiente
di prestazione di una tale macchina.
Secondo principio della termodinamica (Clausius)
Gli esperimenti mostrano che non è possibile
realizzare una trasformazione termodinamica il cui unico
risultato sia quello di far passare del calore da un corpo
più freddo ad uno più caldo. Questa affermazione
è nota come enunciato di Clausius del secondo principio
della termodinamica.
Secondo principio, equivalenza degli enunciati
Abbiamo dimostrato l'equivalenza dei due enunciati,
di Kelvin-Planck e di Clausius, del secondo principio,
mostrando che se l'uno è falso anche l'altro lo
è.
Irreversibilità e secondo principio
Abbiamo discusso brevemente esempi di irreversibilità
meccanica interna, irreversibilità termica e chimica.
Il secondo principio può essere usato per dimostrare
l'irreversibilità di tutti i processi reali. I processi
reversibili possono essere immaginati come limite ideale di
processi reali, in cui le trasformazioni avvengono in modo
quasistatico e senza dissipazioni.
Macchine termiche operanti tra due termostati. Teorema di Carnot
Usando il secondo principio abbiamo dimostrato che nessuna
macchina termica operante tra due termostati ha un rendimento
maggiore di una qualsiasi macchina termica reversibile operante tra
gli stessi termostati. Abbiamo anche dimostrato che tutte le
macchine reversibili, operanti tra gli stessi termostati,
hanno lo stesso rendimento, indipendentemente dal sistema
termodinamico con cui operano.
Temperatura assoluta
L'uguaglianza del rendimento delle macchine termiche permette
di definire una nuova scala di temperatura (assoluta), basata
operativamente sulla misura del rapporto dei calori scambiati
da una macchina termica reversibile con i termostati. Con una
opportuna scelta del punto fisso della scala (T=273.16 K al
punto triplo dell'acqua) la nuova scala coincide con la scala
dei termometri a gas, laddove questi funzionano. Il secondo
principio implica che non possono esistere sistemi a T=0.
Teorema di Clausius
Dal secondo principio della termodinamica e dalla definizione
di temperatura assoluta segue che, nel caso di macchine
termiche operanti tra due serbatoi a temperature Tf e Tc,
la somma (Qf/Tf)+(Qc/Tc) è sempre minore o uguale a
zero; è uguale a zero per macchine reversibili. Abbiamo
visto che questo risultato è generalizzabile al caso
di macchine che operano con N serbatoi, con N qualsiasi.
L'abbiamo dimostrato usando un serbatoio ausiliario e
N macchine di Carnot reversibili ausiliarie. Abbiamo visto
che la somma algebrica dei Q/T è sempre minore o
uguale a zero. Nel caso di infiniti serbatoi, con cui la
macchina scambia quantità infinitesime di calore,
la somma diventa un integrale di δQ/T. Per macchine
reversibili si ha che l'integrale di δQ/T su un
ciclo è zero. Questo risultato è noto come
teorema di Clausius.
Entropia
Il teorema di Clausius ha come diretta conseguenza che
l'integrale di δQ/T lungo una trasformazione reversibile
che connette due stati di equilibrio A e B non dipende dal
tipo di trasformazione, purché reversibile. Si può
allora introdurre una nuova funzione di stato (funzione delle
coordinate termodinamiche), detta entropia, in modo tale che
la differenza di entropia tra gli stati A e B è uguale
all'integrale di δQ/T calcolato lungo una qualsiasi
trasformazione reversibile che connetta i due stati.
Entropia di un gas ideale
Sfruttando le espressioni del primo principio della termodinamica
per trasformazioni reversibili di un gas ideale, possiamo
calcolare, a meno di una costante arbitraria, l'entropia in
funzione di T e P, oppure di T e V. Abbiamo visto l'esempio
di un'espansione libera (adiabatica irreversibile) di un
gas inizialmente confinato in un volume V1 e che alla fine
occupa un volume V2. Abbiamo calcolato la variazione di
entropia, ΔS = nR log(V1/V2). Abbiamo visto che l'entropia,
come l'energia, è una grandezza estensiva (additiva):
l'entropia di un sistema è la somma delle entropie dei
sottosistemi in cui può essere suddiviso.
Legge dell'aumento di entropia
Abbiamo visto che il secondo principio della termodinamica
si traduce in una diseguaglianza per le variazioni di
entropia: in qualsiasi trasformazione di un sistema
isolato la variazione di entropia è positiva
o nulla; è nulla se la trasformazione è
reversibile. Questo vale anche per l'universo, inteso come
sistema isolato: in qualsiasi trasformazione termodinamica
l'entropia dell'universo aumenta o rimane costante; rimane
costante solo se la trasformazione è reversibile.
Esempi di variazioni di entropia
La variazione di entropia (positiva, in ogni trasformazione
reale) è una misura dell'irreversibilità
dei processi. Abbiamo visto alcuni esempi: l'espansione
libera di un gas ideale, il riscaldamento di un gas
a pressione esterna costante tramite una resistenza elettrica,
la caduta di un sasso in un lago e il contatto termico tra
serbatoi a temperatura diversa.
Diagramma T-S
Abbiamo visto che le trasformazioni reversibili sono rappresentabili
in diagrammi temperatura-entropia. Abbiamo visto gli esempi
delle trasformazioni isoterme e adiabatiche,
e del ciclo di Carnot.
Diagramma T-S
Abbiamo tracciato le trasformazioni isocore e isobare quasistatiche
di un gas ideale nel diagramma T-S.
Entropia e degradazione dell'energia
Abbiamo visto che l'aumento di entropia dell'universo in ogni
processo fisico è associato ad un certo quantitativo
di energia, interna o meccanica, che viene "sprecata" o
"degradata". Abbiamo definito l'energia "degradata" a
partire dal confronto tra il lavoro eseguito in una
trasformazione reversibile e quello eseguito in una trasformazione
irreversibile a parità di energia disponibile
all'inizio. Abbiamo trovato che questa energia "degradata"
è uguale al prodotto
della variazione di entropia dell'universo per la temperatura
del serbatoio più freddo a disposizione. Abbiamo
visto alcuni esempi.
Esercizio
Abbiamo calcolato la variazione di entropia a seguito
del contatto termico tra sostanze inizialmente a temperature
diverse. Abbiamo fatto l'esempio di due litri d'acqua
a temperature iniziali diverse miscelati all'interno di
un recipiente adiabatico.
Esercizio
Abbiamo calcolato la variazione di entropia per il riscaldamento
di un litro d'acqua a contatto con un serbatoio caldo. Si suggerisce
di eseguire il calcolo anche con più serbatoi a temperature
intermedie.
Esercizio
Abbiamo calcolato la variazione di entropia per la
fusione di un solido.
Energia libera e potenziali termodinamici
Abbiamo visto che lo stato di equilibrio termodinamico
di un sistema isolato è uno stato di massima
entropia. Se invece il sistema è in contatto con
un serbatoio a temperatura costante T, allora conviene
introdurre una nuova funzione termodinamica F=U-TS, detta
energia libera di Helmholtz. Si dimostra che in ogni
trasformazione il lavoro meccanico massimo
ottenibile dal sistema è pari a -ΔF. Se
il sistema è anche dinamicamente isolato (non
compie lavoro meccanico) allora ogni sua trasformazione
diminuisce l'energia libera. Lo stato di equilibrio è
lo stato con energia libera minima. Per sistemi a
pressione costante si può definire un'altra funzione,
l'energia libera di Gibbs,
che ha un ruolo simile. Queste funzioni di stato sono
dette potenziali termodinamici.
Teoria cinetica dei gas
Abbiamo considerato un modello per un gas rarefatto, in cui
un grande numero N di particelle di uguale massa si muovono
senza interagire tra loro e urtando contro le pareti. Abbiamo
parlato dell'ipotesi di caos molecolare. Abbiamo calcolato la
pressione esercitata dal sistema di particelle sulle pareti
del contenitore per effetto degli urti. Un tale modello
risulta consistente con l'equazione di stato di un gas ideale
se si assume che l'energia cinetica media di ciascuna
particella sia uguale a (3/2)kT, dove k è una costante
universale, detta costante di Boltzmann.
Esercizi
(esercitazioni con Faccioli)
Teoria cinetica dei gas
Il modello di gas ideale, basato sulla meccanica newtoniana
e alcune ipotesi ragionevoli,
permette di assegnare un significato meccanico "microscopico"
alla temperatura e alla pressione del gas. Inoltre, l'energia
interna del gas risulta essere la somma delle energie cinetiche
di traslazione
delle particelle (se sono puntiformi e non hanno altri gradi di
libertà oltre a quelli della traslazione), pari a N
volte l'energia cinetica media. Quindi U dipende solo da T,
come dev'essere, e il calore specifico molare a volume
costante, derivata di U rispetto a T per una mole di gas,
risulta essere (3/2)R, in accordo con gli esperimenti sui
gas monoatomici rarefatti.
Calori specifi ed equipartizione dell'energia
Abbiamo discusso il caso di molecole biatomiche che possono
ruotare e vibrare. Abbiamo accennato al principio di equipartizione
dell'energia. Abbiamo discusso poi il problema
del calore specifico dei solidi, visti come insieme di
oscillatori armonici.
Distribuzione di Maxwell-Boltzmann
Abbiamo definito la probabilità che una singola
particella di un gas ideale abbia modulo della velocità
compreso in un intervallo infinitesimo dv intorno al valore
v come il prodotto di dv volte una funzione f(v) detta funzione
di distribuzione delle velocità. Abbiamo introdotto
la distribuzione di Maxwell-Boltzmann, discutendone le
proprietà principali e il significato fisico.
Ancora sulla distribuzione di Maxwell-Boltzmann
Abbiamo fatto alcuni calcoli con la distribuzione di
Maxwell-Boltzmann: normalizzazione a 1, velocità
quadratica media, velocità per cui la
probabilità è massima.
Gas reali
Abbiamo introdotto il modello di Van der Waals per un
gas reale in cui si tiene conto del "covolume" delle
molecole e dell'attrazione a lungo raggio tra le
stesse. Abbiamo visto come sono fatte le isoterme del
gas di Van der Waals: per temperature alte approssimano
il comportamento del gas ideale; per temperature al di
sotto di una temperatura critica descrivono qualitativamente
il passaggio di stato liquido-vapore. L'energia interna del gas
di Van der Waals dipende sia dalla temperatura che dal
volume molare.
Abbiamo parlato dell'espansione del viriale per gas reali
nel limite in cui il volume molare è molto grande.
Entropia e disordine
Abbiamo ripreso lo studio dell'espansione libera di un gas ideale,
ricordando il risultato per la variazione di entropia nel caso
di un raddoppio di volume: ΔS = nR log2. Ci siamo posti
il problema di interpretare questa variazione di entropia sulla
base di un modello microscopico del gas. Per fare questo
occorrono concetti statistici. Abbiamo utilizzato, a titolo
esemplificativo, un mazzo di 40 carte da gioco. Abbiamo visto
come si possono definire i concetti di macrostato e microstato
per un insieme di N elementi.
Abbiamo definito la probabilità
termodinamica Ω di un macrostato come il numero di microstati
che lo realizzano. Abbiamo poi introdotto una funzione S(Ω)
chiamata entropia e abbiamo dimostrato che se S ha la forma S=
k log(Ω), dove k è la costante di Boltzmann, allora
questa entropia coincide con l'entropia già definita per i
sistemi termodinamici. In questo modo si ottiene un legame tra
le variazioni di entropia per i sistemi "macroscopici" e la
variazione del loro grado di disordine "microscopico".
Entropia e disordine
Abbiamo approfondito il legame tra entropia e disordine discutendo
alcuni aspetti: il diavoletto di Maxwell, entropia e informazione, il
problema del conteggio dei microstati e la costante additiva
nell'entropia, la freccia del tempo.
Esercizio
Calcolo di rendimento, lavoro e variazioni di entropia per un
ciclo composto da una isoterma reversibile, una isocora irreversibile,
una adiabatica irreversibile e una isobara reversibile.
Statica dei fluidi
Abbiamo elencato alcune proprietà che caratterizzano
una sostanza fluida. Abbiamo insistito sul fatto che i fluidi
costituiscono una categoria piuttosto ampia e dai confini
variabili. Abbiamo parlato di densità di particelle,
densità di massa e campo di velocità in un
mezzo continuo e abbiamo discusso le condizioni affinché
un sistema di N particelle possa essere trattato come un continuo.
Abbiamo parlato di sforzi di taglio e di pressioni e abbiamo
detto che un fluido in equilibrio non risponde a sforzi di
taglio. Abbiamo definito la viscosità per un fluido
in movimento rispetto ad altri corpi. Un fluido perfetto è
non viscoso. Abbiamo definito la compressibilità del
sistema e abbiamo distinto fluidi a grande compressibilità
(tipicamente gas) e fluidi a piccola compressibilità
(tipicamente liquidi). Abbiamo poi discusso le condizioni
per l'equilibrio di un fluido sfruttando i principi della
meccanica newtoniana e scritto le corrispondenti equazioni.
Nel caso della forza di gravità applicata ad un fluido
incomprimibile (densità uniforme) abbiamo visto che
si ottiene la legge di Stevino per la pressione
idrostatica.
Esercizi
(esercitazioni con Faccioli)
Statica dei fluidi
Abbiamo ripreso il discorso della legge di Stevino, accennando
a qualche applicazione. Abbiamo poi considerato anche
il caso di un fluido comprimibile, prendendo ad esempio un
gas ideale di cui si conosce l'equazione di stato. Abbiamo
visto che nel campo di gravità il gas ha un profilo
di densità (e di pressione) esponenziale in funzione
dell'altezza. Abbiamo detto che questa è una prima
approssimazione al comportamento dell'atmosfera in
condizioni statiche.
Abbiamo riscritto le condizioni per la statica dei fluidi
nel caso di forze esterne conservative, utilizzando l'operatore
gradiente. Abbiamo mostrato che le superfici isobariche coincidono
con le superfici equipotenziali e abbiamo visto alcuni esempi:
profilo degli oceani, incluso l'effetto di rotazione della terra,
superficie dell'acqua in un secchio in accelerazione o rotazione.
Spinta di Archimede
Abbiamo definito la spinta di Archimede, discutendone le evidenze
empiriche e la giustificazione teorica. Abbiamo parlato delle
condizioni di galleggiamento dei corpi.
Dinamica dei fluidi
Abbiamo parlato della dinamica di un fluido
mettendoci nel caso più semplice di un fluido
incomprimibile e non
viscoso, in regime stazionario e con moto laminare. Abbiamo
detto cosa sono i filetti fluidi e abbiamo visto che la
conservazione della massa in un moto laminare implica una
relazione semplice tra la sezione di un filetto fluido e la
velocità locale del fluido stesso.
Abbiamo calcolato la variazione di energia meccanica (cinetica
più potenziale gravitazionale) per un filetto fluido.
Il risultato è noto come
teorema di Bernoulli: la densità di energia, definita
come la somma dell'energa meccanica per unità di volume
e della pressione locale del fluido, è
costante e uniforme. Abbiamo discusso alcune applicazioni:
l'effetto Venturi e il tubo di Pitot.
Esercizi
(esercitazioni con Faccioli)
Esercizi
(esercitazioni con Faccioli)
Esercizi
(esercitazioni con Faccioli)