Franco Dalfovo

Sintesi delle lezioni, 2005-06

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12 settembre 2005

Introduzione al corso.
Obiettivi, programma, modalità, testi, ecc.

Forze, potenziali e campi
Il programma newtoniano della meccanica. L'equazione del moto. Le forze fondamentali. La gravitazione. La legge di gravitazione universale. Il principio di sovrapposizione. Il concetto di campo gravitazionale. Le forze gravitazionali sono conservative e si può introdurre un potenziale gravitazionale. Forma del campo (vettoriale) gravitazionale e del potenziale (scalare) gravitazionale generati da una massa.

Forza tra cariche elettriche
La forza gravitazionale non è l'unica. Altre forze associate a fenomeni elettrici, ad esempio. Cenno allo sviluppo storico (strofinio, scariche, pile, ecc.). I fatti sperimentali possono essere interpretati assumendo che esista una proprietà dei corpi, chiamata carica elettrica, tale che:

Alcuni commenti:

La scelta del sistema di unità di misura. Il Sistema Internazionale (MKSA razionalizzato) e la definizione di coulomb (C).

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14 settembre 2005

Ancora sulle unità di misura.
La carica di un coulomb è grande. Due cariche di un coulomb poste a un metro di distanza producono forze dell'ordine di 10^10 newton. La carica dell'elettrone è dell'ordine di 10^-19 C. Elettroni e protoni hanno la stessa carica. La materia è fondamentalmente neutra.
Il sistema di unità di misura CGS elettrostatico. L'unità di carica elettrostatica (ues) e la sua relazione con il coulomb (esercizio di conversione di unità).
Contenuti fisico-empirici e contenuti convenzionali della legge di Coulomb.

Campo elettrico
Definizione di campo elettrico. Analogie con il campo gravitazionale. Si tratta di un campo vettoriale (un vettore per ogni punto dello spazio). Può essere rappresentato graficamente con linee di forza. Il campo elettrico generato da una carica puntiforme positiva o negativa. Il campo elettrico generato da più cariche puntiformi. Il campo generato da una distribuzione continua di cariche con densità assegnata (carica per unità di volume).
Il campo elettrico generato da due cariche uguali poste ad una distanza d. Comportamento asintotico. Caso di cariche diverse e analogia con il campo gravitazionale del sistema terra-luna.
Il campo elettrico generato da due cariche uguali in modulo ma di segno opposto, poste ad una distanza d (dipolo elettrico). Comportamento asintotico.

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15 settembre 2005

Distribuzioni continue di cariche.
Calcolo del campo generato da un anello uniformemente carico.

Un po' di matematica
Angolo solido. Elemento di superficie. Flusso di un campo vettoriale.

Flusso del campo elettrico e legge di Gauss
Flusso attraverso una sfera del campo generato da una carica puntiforme posta nel suo centro. Flusso attraverso una superficie chiusa qualsiasi del campo generato da una carica interna. Il flusso del campo generato da cariche esterne è nullo. Legge di Gauss: il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa qualsiasi è pari alla carica totale nel volume racchiuso dalla superficie, divisa per epsilon_0. Commenti sul legame tra legge di Gauss e legge di Coulomb.

Applicazioni della legge di Gauss
Campo generato da una piastra piana infinita e uniformemente carica.

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19 settembre 2005

Applicazioni della legge di Gauss.
Ancora sul campo generato da una lastra piana infinita: il calcolo del campo a partire dalla Legge di Coulomb è più complicato del calcolo con la legge di Gauss.
Due piastre parallele con carica uniforme di segno opposto. Il campo elettrico è non nullo solo tra le piastre.
Campo elettrico generato da un filo infinito uniformemente carico.
Campo elettrico generato da una distribuzione isotropa di cariche. Equivalenza tra legge di Gauss e legge di Coulomb. Problema delle cariche puntiformi. Analogia con il campo gravitazionale. Campo dentro una sfera uniformemente carica. Campo dentro un guscio sferico. Verifica della legge di Coulomb con un guscio sferico.

Il potenziale elettrico
Il campo elettrico è conservativo. Si può definire un potenziale elettrico. Esempio del potenziale dovuto ad una carica puntiforme.

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21 settembre 2005

Potenziale elettrico.
Operatore gradiente. Calcolo della variazione del potenziale per uno spostamento infinitesimo. Si trova che il campo elettrico è uguale a meno il gradiente del potenziale. Dunque, data una distribuzione di cariche si può calcolare il potenziale ad essa associato e, da questo, calcolare il campo usando l'operatore gradiente. Oppure, in alternativa, si può calcolare il campo e, da questo, calcolare il potenziale per mezzo di un'integrazione.

Il potenziale generato da un dipolo elettrico
Definizione di dipolo elettrico. Calcolo del potenziale elettrico a grande distanza. Calcolo del campo elettrico lungo l'asse del dipolo e lungo l'asse ortogonale passante per il punto centrale del dipolo, a partire dall'espressione generale del potenziale.

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22 settembre 2005

Potenziale elettrico generato da un filo.
Potenziale elettrico generato da un filo carico di lunghezza finita, lungo l'asse perpendicolare al filo e passante per il punto medio. Casi limiti di distanza molto maggiore e molto minore della lunghezza del filo. Calcolo del campo elettrico dal potenziale e confronto con il calcolo fatto tramite la legge di Gauss.

Potenziale elettrico generato da un disco
Potenziale elettrico generato da un disco uniformemente carico, lungo l'asse perpendicolare al disco e passante per il centro. Casi limite di distanza molto maggiore e molto minore del raggio del disco. Calcolo del campo elettrico dal potenziale e confronto con il calcolo fatto tramite la legge di Gauss nel caso della piastra piana infinita.

Potenziale elettrico generato da due piastre parallele
Calcolo del campo elettrico e del potenziale tra due piastre con carica distribuita uniformemente e di segno opposto. Differenza di potenziale tra le piastre.

Unità di misura
Definizione di Volt, unità di potenziale elettrico (1 Volt = 1 Joule/C). Il campo elettrico si può allora misurare in Volt/m.

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26 settembre 2005

Esercizi (esercitatore: Sebastiano Pilati)
Calcolo di campi elettrici e potenziali elettrici per alcune distribuzioni di carica, discrete e continue.

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28 e 29 settembre 2005

Gradiente, divergenza, rotore (docente: Marco Traini)
Operatori differenziali per campi scalari e campi vettoriali. Definizione di gradiente, divergenza, rotore e laplaciano. Teorema di Stokes e teorema di Gauss. Legge di Gauss in forma locale. Leggi di Poisson e di Laplace. Rotore del campo elettrico. Esempi.

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3 ottobre 2005

Moto di una carica in un campo elettrico
Moto di una carica in un campo elettrico uniforme (analogo alla caduta dei gravi). Deflessione di un fascio di elettroni. Accelerazione di elettroni. Definizione di eV (elettronvolt) e scale tipiche di energia. Esempio del tubo catodico.

Energia elettrostatica
Calcolo del lavoro necessario a realizzare una distribuzione statica di cariche, discreta o continua. Tale lavoro corrisponde ad una energia "immagazzinata" nella distribuzione di cariche. Nel caso di una distribuzione continua l'energia è pari a 1/2 l'integrale di volume della densità di carica moltiplicata, punto per punto, per il potenziale elettrico associato alla stessa distribuzione. L'energia elettrostatica è un "numero" che caratterizza globalmente la distribuzione (non è suddivisibile in contributi di singoli parti) e non va confusa con il potenziale elettrico, che invece è una funzione della coordinata spaziale e che dà informazioni sugli effetti che la distribuzione di carica produce su un'altra eventuale carica in un dato punto dello spazio.

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5 ottobre 2005

Energia elettrostatica
Calcolo dell'energia elettrostatica associata ad una sfera uniformemente carica. Il calcolo è stato svolto sia integrando il lavoro necessario a caricare una sequenza di gusci sferici di raggio crescente, sia integrando il prodotto della densità di carica per il potenziale elettrico associato alla sfera. Il risultato ovviamente è lo stesso.
Usando le definizioni di gradiente, divergenza e laplaciano e la legge di Poisson, abbiamo riscritto l'energia elettrostatica di una distribuzione continua di carica come l'integrale del modulo quadro del campo elettrico prodotto dalla distribuzione. Il risultato è interessante, ma abbiamo messo in luce anche alcuni problemi che si hanno nel caso di cariche puntiformi.

Conduttori
Un breve cenno alla struttura della materia. Cariche libere di muoversi in un conduttore. Condizione di equilibrio per le cariche in un conduttore: il campo elettrico all'interno è nullo; il campo elettrico esterno è perpendicolare alla superficie; la superficie del conduttore è una superficie equipotenziale.

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6 ottobre 2005

Esercizio
Calcolo dell'energia elettrostatica di un guscio sferico carico, utilizzando diversi metodi (integrazione del modulo quadro del campo elettrico; calcolo del lavoro per depositare la carica sul guscio usando il potenziale elettrico).

Conduttori
Conduttori caricati per contatto o per induzione. Conduttori con cavità. Effetto di schermaggio (gabbia di Faraday). Esempio della sfera cava. Cariche puntiformi esterne al conduttore o dentro la cavità di un conduttore.

Effetto dispersivo delle punte
Densità di carica su conduttori sferici tenuti allo stesso potenziale. La densità è inversamente proporzionale al raggio. Il campo elettrico sulla superficie di un conduttore, essendo proporzionale alla densità di carica, è maggiore là dove il raggio di curvatura è minore. Applicazione: parafulmini.

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10 ottobre 2005

Le soluzioni dell'equazione di Laplace
Dato un generico insieme di conduttori il problema di calcolare il potenziale e il campo elettrico nello spazio tra questi equivale a risolvere l'equazione di Laplace per il potenziale elettrico con condizioni al contorno assegnate. Se si assegnano i valori del potenziale su tutte le superfici dei conduttori, allora si parla di problema di Dirichlet; se si assegnano i valori del modulo del campo elettrico sulle superfici esterene dei conduttori (equivalentemente, delle derivate del potenziale nella direzione perpendicolare alle superfici) si parla di problema di Neumann. Per entrambi i casi esiste un teorema di unicità: la soluzione dell'equazione di Laplace con condizioni al contorno assegnate è unica.

Il metodo delle cariche immagine
Un'applicazione del teorema di unicità corrisponde al calcolo del potenziale e del campo elettrico con il metodo delle cariche immagine. Esempio: carica puntiforme q posta a distanza h da una lastra conduttrice piana e infinita. Il potenziale e il campo elettrico nel semispazio esterno alla piastra e contenente la carica q sono uguali al potenziale e al campo generati da un dipolo composto dalla stessa carica q e da una carica -q posta a distanza h dalla superficie del conduttore ma nel semispazio opposto. Infatti, nel semispazio esterno al conduttore il problema è identico e le condizioni al contorno pure (il potenziale è nullo sulla superficie della piastra e all'infinito). La carica -q, fittizia, è detta "carica immagine". Con questo metodo si riesce anche a calcolare la densità di carica indotta sulla superficie del conduttore e la forza con cui la carica q è attratta verso la piastra. Lo stesso metodo può essere applicato anche ad altre geometrie.

Il metodo variazionale
Dato un insieme di conduttori a potenziale elettrico assegnato, il potenziale nello spazio tra i conduttori è soluzione dell'equazione di Laplace. Abbiamo scritto l'energia elettrostatica come integrale sul volume del quadrato del gradiente del potenziale (che equivale al modulo quadro del campo elettrico); abbiamo calcolato l'energia per un potenziale che differisce dalla soluzione dell'equazione di Laplace per una funzione f piccola ovunque, e nulla sul contorno. Abbiamo dimostrato che la variazione al primo ordine in f dell'energia elettrostatica attorno al valore corrispondente alla soluzione dell'equazione di Laplace è nulla. L'energia elettrostatica assume valore minimo per f=0. Dunque la soluzione dell'equazione di Laplace, assegnate le condizioni al contorno, corrisponde al potenziale elettrico che minimizza l'energia elettrostatica. Questa è una formulazione alternativa dello stesso problema. Suggerisce l'uso di un metodo variazionale (ricerca di minimo in una classe di funzioni caratterizzata da un certo numero di parametri liberi) per ottenere soluzioni approssimate al problema esatto.

Condensatori e capacità
Un condensatore è un sistema costituito da due conduttori caricati con carica uguale e opposta. La capacità di un condensatore è data dal modulo del rapporto tra la carica e la differenza di potenziale tra i due conduttori (armature del condensatore). Esempi: conduttore a piastre piane parallele, condensatore cilindrico, condensatore sferico. Unità di misura della capacità: Farad.

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12 ottobre 2005

Condensatori
Calcolo della capacità nel caso di un condensatore piano, un condensatore cilindrico e un condensatore sferico. Capacità di una sfera conduttrice di raggio assegnato. Energia immagazzinata in un condensatore (calcolata integrando il modulo quadro del campo elettrico tra le armature, oppure dal lavoro necessario a caricare le armature). Capacità di condensatori in serie e in parallelo.

Esercizio
Esercizio su condensatori piani.

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13 ottobre 2005

Esercizi sui condensatori
Calcoli con condensatori piani e sferici. Pressione elettrostatica, Condensatori a capacità variabile.

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17 ottobre 2005

Sviluppo in multipoli
Abbiamo preso una distribuzione di cariche discreta, che occupa una regione limitata di spazio, e abbiamo calcolato il potenziale elettrico a grandi distanze da essa. Il potenziale può essere sviluppato in termini dell'ordine di (1/r), (1/r)2, (1/r)3, e così via. Questi contributi sono detti, rispettivamente, di monopolo, dipolo, quadrupolo, eccetera. Abbiamo espresso i coefficienti dello sviluppo come opportune somme sulle cariche della distribuzione e abbiamo anche generalizzato le stesse espressioni al caso di distribuzioni continue, rimpiazzando le somme con integrali di volume. Il termine di monopolo è proporzionale alla carica totale della distribuzione e produce un potenziale asintorico uguale a quello di una carica puntiforme. Il termine di dipolo per una distribuzione neutra è dato dalla carica totale positiva volte il vettore distanza tra i centri di carica positiva e negativa (il centro di carica è la media pesata delle posizioni delle cariche, usando le cariche stesse come pesi). Il momento di quadrupolo invece dà informazioni sulla deviazione angolare rispetto ad una distribuzione di carica isotropa. Abbiamo visto esempi di cariche discrete con momento di dipolo nullo (centri di carica + e - coincidenti) e non nullo (due cariche +q e -q a distanza d). Abbiamo verificato che una distribuzione di cariche neutra ed isotropa ha momento di quadrupolo nullo. Abbiamo visto un esempio di distribuzione di 4 cariche, due + e due -, aventi momento di quadrupolo non nullo.

Dipoli permanenti e indotti
Le molecole di una sostanza generica possono avere un momento di dipolo permanente. Un esempio è la molecola dell'acqua. I momenti di dipolo, se immersi in un campo elettrico esterno, tendono ad orientarsi lungo il campo. Questo lo abbiamo visto calcolando l'energia potenziale del dipolo nel campo, che risulta essere pari a meno il prodotto scalare del dipolo e del campo. L'energia è minima se i due vettori sono concordi. Questo suggerisce che le molecole con momento di dipolo permanente avranno la tendenza ad orientare il proprio dipolo nella direzione del campo, dando luogo ad un momento di dipolo medio diverso da zero. Questo dipolo medio contribuirà al campo elettrico totale. Oltre all'orientamento dei dipoli permanenti, un campo elettrico esterno può indurre un dipolo in atomi o molecole tramite la deformazione della loro distribuzione di carica. In questo caso si parla di dipolo indotto. Con un modello semplice, in cui un atomo è schematizzato da una carica positiva puntiforme e una carica negativa diffusa in modo uniforme in una sfera, abbiamo visto che il momento di dipolo indotto è direttamente proporzionale al campo esterno. Il coefficiente di proporzionalità è detto polarizzabilità (atomica o molecolare).

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19 ottobre 2005

Dielettrici
I dielettrici sono materiali non conduttori che possono essere polarizzati da un campo elettrico. Abbiamo definito la densità di polarizzazione P e abbiamo accennato alla differenza tra dielettrici normali (omogenei, isotropi, lineari) e dielettrici non omogenei, non lineari e non isotropi (per questi ultimi si introduce il tensore polarizzabilità).

Campo elettrico dovuto ad un dielettrico normale polarizzato
Abbiamo considerato un cilindretto di dielettrico polarizzato, con P parallelo all'asse del cilindro, e abbiamo calcolato il potenziale elettrico in un punto esterno. Abbiamo trovato che il potenziale è lo stesso che si avrebbe per due superfici cariche ai due estremi di un cilindro vuoto, con densità superficiale di carica +/- P. Lo stesso vale anche per un dielettrico di forma generica con due facce piane parallele: sia il potenziale che il campo all'esterno sono identici a quelli dovuti a due piastre di carica opposta e densità superficiale P. Dato che il campo elettrico è conservativo, la differenza di potenziale ottenuta integrando il campo su un percorso esterno al dielettrico deve essere uguale a quella calcolata integrando su un percorso interno tra gli stessi punti. Questo suggerisce che l'integrale del campo vero (microscopico, fortemente fluttuante) all'interno del dielettrico possa essere rimpiazzato dall'integrale di un campo "medio" nel dielettrico, tolte le fluttuazioni su scala microscopica, in modo che la differenza di potenziale sul percorso sia la stessa. Il campo medio così definito dovrà essere uguale a quello generato dalle due piastre parallele con la carica di polarizzazione sulla superficie. In presenza di un campo dovuto a cariche ("libere") diverse da quelle del dielettrico il campo totale E sarà la somma di tale campo e di quello dovuto alle cariche di "polarizzazione". Nel caso di superfici piane e parallele, con P perpendicolare alle superfici stesse, il campo E risulta dunque proporzionale alla differenza tra la densità superficiale di cariche libere e la polarizzazione P. La differenza di potenziale tra le piastre di un condensatore piano riempito di dielettrico risulterà quindi diminuita rispetto a quella con condensatore vuoto. La capacità del condensatore con dielettrico sarà conseguentemente maggiore.

Costante dielettrica relativa
Il rapporto tra la capacità di un condensatore con dielettrico normale e dello stesso condensatore vuoto è detta costante dielettrica relativa. Si tratta di una costante empirica tabulata per le varie sostanze. Abbiamo ricavato la relazione tra la costante dielettrica relativa e la densità di polarizzazione P, tramite l'espressione del campo elettrico in un dielettrico con facce piane parallele. La densità di polarizzazione risulta proporzionale al campo elettrico, con costante di proporzionalità pari al prodotto della costante dielettrica del vuoto (epsilon_0) e della suscettività elettrica, a sua volta definita come (epsilon_r -1) se epsilon_r è la costante dielettrica relativa. Dato che nei dielettrici la costante dielettrica relativa è maggiore di 1 e che la polarizzazione P produce un campo che, all'interno del dielettrico, si oppone a quello prodotto dalle cariche libere, risulta che il campo elettrico complessivo generato da cariche libere o conduttori immersi in un dielettrico è indebolito rispetto a quello nel vuoto per un fattore (1/epsilon_r).

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20 ottobre 2005

Carica di polarizzazione e analogo della legge di Gauss in forma locale
Assegnato un dielettrico normale, con una data suscettività, abbiamo visto come si possa definire una carica di polarizzazione che renda conto della densità di carica superficiale prodotta dalla polarizzazione del mezzo. Nel caso di volumi interni al dielettrico si può legare la densità di carica di polarizzazione al comportamento della polarizzazione. In particolare, se la polarizzazione non è uniforme del dielettrico, abbiamo mostrato che la densità di carica di polarizzazione è pari a meno la divergenza della densità di polarizzazione P. Usando la legge di Gauss locale per il campo E e la relazione empirica tra E e P, si può riscrivere la legge di Gauss includendo il contributo delle cariche di polarizzazione. Questo permette di risolvere il problema della determinazione del campo, e del corrispondente potenziale, associato a distribuzioni generiche di cariche "libere" e di dielettrici. Per ragioni storiche (e, a volte, pratiche) si può introdurre un vettore D, detto "spostamento elettrico" o "induzione elettrica", definito come la somma di P e di epsilon_0 volte E. La divergenza di D risulta uguale alla densità di cariche libere.

Legame tra la visione macroscopica (suscettività) e quella microscopica (polarizzabilità)
Il legame tra ciò che avviene su scala atomica (polarizzazione di singoli atomi/molecole) e ciò che avviene su scala macroscopica (polarizzazione) non è banale. Nel primo caso, come avevamo già visto, si può definire una polarizzabilità "alpha" come coefficiente di proporzionalità tra il dipolo indotto sull'atomo/molecola e il campo elettrico che agisce sull'atomo/molecola. Nel secondo caso si può definire una suscettività "chi" come coefficiente di proporzionalità tra la densità di polarizzazione del dielettrico e il campo elettrico "medio" nel dielettrico (somma del campo dovuto alle cariche libere più il campo dovuto alle cariche di polarizzazione, escluse le fluttuazioni locali su scala atomica). Abbiamo visto che nel caso di un dielettrico gassoso, in cui le singole molecole sono mediamente distanti l'una dall'altra, l'interazione reciproca tra i dipoli può essere trascurata e il campo elettrico che induce la polarizzazione della singola molecola coincide con il campo medio nel dielettrico. In questo caso, identificando P come il prodotto della densità di molecole, "n", volte il momento di dipolo molecolare, si ottiene la relazione chi = n alpha.
La situazione è più complicata nel caso di dielettrici densi (liquidi e solidi), dove il campo locale che induce la polarizzazione della singola molecola può essere significativamente diverso dal campo medio. Un metodo approssimato ma ragionevole per affrontare il problema consiste nel considerare un "buco" sferico nel dielettrico. Il principio di sovrapposizione permette di calcolare il campo al centro del buco dovuto a tutte le cariche tranne le cariche di polarizzazione della sfera estratta. Il campo nel buco risulta maggiore di quello medio nel dielettrico, di una quantità pari a P/(3 epsilon_0). Se immaginiamo di inserire una molecola nel buco, ci si aspetta, in prima approssimazione, che il suo momento di dipolo sia proporzionale al campo nel buco dovuto a tutte le altre cariche. Questa ipotesi porta ad una nuova relazione tra la suscettività e la polarizzabilità, nota come legge di Clausius-Mossotti. Tale legge funzione piuttosto bene per dielettrici liquidi e si riduce all'espressione valida per i gas nel limite di bassa densità di molecole. In dielettrici solidi le cose possono essere più complicate ancora.

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24 ottobre 2005

Energia elettrostatica in presenza di dielettrici
Abbiamo calcolato l'energia elettrostatica per un condensatore carico, riempito con un dielettrico normale, integrando sui lavori elementari compiuti nel processo di carica. L'espressione per l'energia elettrostatica risulta essere formalmente identica a quella di un condensatore vuoto, salvo il fatto che la capacità è aumentata di un fattore pari alla costante dielettrica relativa (maggiore di 1). Abbiamo visto che la stessa energia può essere scritta come (1/2) l'integrale del prodotto scalare di D ed E. Come semplice applicazione abbiamo visto il caso di un condensatore piano, con armature quadrate di lato L, in cui viene parzialmente inserito un dielettrico, per una lunghezza x. L'energia elettrostatica, in tal caso, è una funzione di x e si può anche calcolare la forza che agisce sul dielettrico, come meno la derivata dell'energia rispetto a x. Se la derivata è calcolata a carica costante, la forza è attrattiva: il sistema diminuisce l'energia inserendo il dielettrico. Se invece si mantiene costante la differenza di potenziale, la forza è negativa: il dielettrico tende ad essere espulso dal condensatore.

Esercizi
Abbiamo calcolato E, D, P, e la densità di carica di polarizzazione, nel caso di un condensatore piano con dielettrico inserito e nel caso di un dielettrico sferico, con cavità sferica al centro, e carica Q al centro della cavità stessa.

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26 e 27 ottobre 2005

Esercizi (esercitatore: Sebastiano Pilati)
Esercizi riassuntivi su energia elettrostatica, condensatori, dielettrici, ecc.

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