Corrente elettrica
Abbiamo parlato di cariche in movimento entro conduttori di vario tipo.
Per ciascun caso si possono individuare dei portatori di carica, definendo
la loro densità di carica e la loro velocità (di deriva).
Immaginiamo una superficie infinitesima in un punto dello spazio generico.
Se questa superficie è ortogonale alla velocità dei portatori,
la carica che passa attraverso di essa nell'unità di tempo è
il prodotto della densità di carica dei portatori (rho), della loro
velocità di deriva e dell'area della superficie. Dividendo per
l'area si ottiene la quantità di carica che passa nell'unità
di tempo attraverso una superficie di area unitaria ortogonale alla
velocità: questa è la definizione di densità di
corrente elettrica (j= rho v). Per una superficie orientata
ad un angolo theta rispetto alla velocità la carica che passa
è il prodotto scalare di j con il vettore che individua
l'elemento di superficie considerato (da, di
modulo pari all'area e versore
perpendicolare alla superficie). Il prodotto jda è
un flusso elementare di carica. Se abbiamo una superficie finita S,
l'integrale su S dei flussi elementari fornisce la corrente elettrica I,
cioè la carica che passa attraverso S nell'unità di
tempo. La corrente (o intensità di corrente) si misura in
ampère (A), 1 A essendo pari a 1 C/s.
Conservazione della carica e equazione di continuità
La carica elettrica si conserva. Se si considera un volume generico che
contiene una carica complessiva Q, il flusso totale di carica attraverso le
sue superfici deve corrispondere ad una variazione di Q nel tempo. Più
precisamente, il flusso, definito come l'integrale di jda,
deve essere uguale a meno la derivata rispetto al tempo di Q. Si può
esprime Q come integrale sul volume della densità di carica rho.
Si può usare il teorema di Gauss per esprime il flusso di j
come integrale sul volume della divergenza di j. La conservazione
della carica porta così all'equazione di continuità: la
somma della derivata rispetto a t della densità di carica e della
divergenza di j si annulla ovunque. L'equazione è
formalmente identica a quella per un fluido, dove si conserva il
numero totale di particelle.
Correnti stazionarie
Se la densità di carica non dipende dal tempo, l'equazione di
continuità dice che la divergenza di j è nulla
ovunque. In questo caso si parla di correnti stazionarie. Abbiamo
visto che, per correnti stazionarie, l'intensità di corrente
I è la stessa se misurata attraverso una sezione S qualsiasi
di un conduttore a sezione variabile.
Velocità "microscopica" e velocità di deriva
La velocità che entra nella definizione della densità di
corrente è la velocità di deriva (media) dei portatori, che
può essere anche molto diversa dalla velocità media di
ogni singolo portatore. Abbiamo fatto una stima della velocità
media dei singoli elettroni di conduzione in un metallo, usando un
modello a gas classico a temperatura ambiente e il principio di
equipartizione. La velocità risulta essere maggiore di
10^5 m/s. Una stima basata su modelli
quantistici darebbe circa 10^6 m/s, come ordine di grandezza.
Abbiamo anche stimato la velocità di deriva degli stessi
elettroni in un filo di rame di raggio 1 mm, percorso da una
corrente di 5 A. Usando la massa atomica e il peso specifico del rame,
si arriva ad una stima della velocità di deriva dell'ordine
di 10^(-4) m/s, 10 ordini di grandezza più piccola della
velocità termica del singolo portatore. L'agitazione termica
tuttavia non produce alcuno spostamento globale delle cariche.
Resistenza
Se applichiamo una differenza di potenziale ai capi di un conduttore
ideale, le cariche libere si sposteranno per annullare il campo
elettrico all'interno e produrre una superficie complessivamente
equipotenziale. Nelle situazioni tipiche reali, tuttavia i portatori
di carica subiscono una "resistenza" da parte del mezzo in cui sono
immersi. L'effetto può essere quello di instaurare una corrente
stazionaria I direttamente proporzionale alla differenza di potenziale,
che possiamo indicare con V. Se il rapporto tra V e I dipende dal tipo
di conduttore e dalla sua geometria, ma non dipende da V e I, allora
si dice che il conduttore è ohmico e il rapporto V/I è
detto resistenza (R). La legge R=V/I è nota come legge di
Ohm e, così formulata, altro non è che una definizione
di materiali ohmici. Il suo contenuto empirico (e la sua utilità)
sta nel fatto i materiali ohmici rappresentano una classe molto vasta
di materiali. La resistenza R si misura in ohm (Omega), 1 ohm essendo
pari a 1 Volt/A. Per un conduttore omogeneo cilindrico di lunghezza L e
sezione S, la resistenza R risulta essere proporzionale al rapporto
L/S. Il coefficiente d proporzionalità è detto
resistività. La resistività può variare di ordini
di grandezza nel passare da materiali buoni conduttori a materiali
isolanti, passando per i semiconduttori.
Legge di Ohm in forma locale
Considerando un volumetto cilindrico infinitesimo, di lunghezza dL
e sezione dS, orientato nella direzione del vettore di densità
di corrente locale in un materiale ohmico percorso da una corrente
stazionaria, abbiamo mostrato che la densità di corrente
è proporzionale al campo elettrico che induce il moto
delle cariche. Il coefficiente di proporzionalità è
detto conducibilità elettrica e risulta essere l'inverso della
resistività. La relazione lineare tra densità di
corrente e campo elettrico corrisponde alla legge di Ohm in forma
locale.
Modello classico per la conduzione nei metalli
Premesso che la predizione quantitativa della conducibilità di
un materiale ohmico richiede una descrizione quantistica della
struttura della materia, abbiamo visto un modellino classico
semplice che comunque fornisce una pittura fisica ragionevole.
Abbiamo immaginato i portatori di carica in un metallo come un gas
di particelle cariche classiche che compiono un moto disordinato,
subendo ripetuti urti su centri diffusori (da precisare, a seconda
dei casi specifici) e subendo l'accelerazione indotta dal campo
esterno elettrico tra un urto e l'altro. In aula, abbiamo mostrato
un giocattolo che si comporta in modo simile: un diavoletto di
legno appeso tramite una molla ad un anello di legno, che scorre
lungo un paletto verticale. Il movimento oscillatorio indotto
dalla molla produce una sequenza periodica di cadute libere
lungo il palo, separate da "urti" periodici tra anello e palo
(l'anello si inclina bloccando lo scorrimento). Una serie di
cadute libere interrotte produce un moto uniforme. Abbiamo
calcolato la velocità di caduta. Abbiamo visto come
la dinamica del giocattolo si generalizza ad un insieme di molti
giocattoli simili, con molle uguali o diverse. Abbiamo mostrato
che la velocità media di un insieme di diavoletti è
data dal prodotto dell'accelerazione, costante, per un tempo "tau".
Applicando la stessa idea al moto di deriva degli elettroni di
conduzione in un metallo si arriva a dare una stima della
conducibilità. Si tratta di una versione classica di un
modello noto come modello di Drude per la conducibilità
nei metalli. Nel modello si ipotizza che gli elettroni subiscano
urti con impurezze e difetti del reticolo e che ad ogni urto si
perda memoria della velocità acquisita a causa del
campo elettrico esterno. Abbiamo fatto alcune considerazioni sulla
struttura interna del metallo sulla base del legame tra
conducibilità e libero cammino medio.
La resistenza come elemento di circuiti elettrici
Materiali ohmici possono essere inseriti come elementi resistivi
in circuiti elettrici. Abbiamo visto con quali simboli si
indicano i generatori di differenza di potenziale e le resistenze (o
resistori). Abbiamo calcolato la resistenza equivalente nel caso di
più resistenze collegate in serie o in parallelo.
Effetto Joule
Abbiamo calcolato la potenza dissipata in un resistore percorso da
corrente (effetto Joule), assumendo che il lavoro fatto dal generatore
(il dispositivo che mantiene la corrente stazionaria nel circuito)
compensi esattamente la variazione di energia potenziale delle cariche
che fluiscono nel resistore. Questa variazione di energia, nell'unità
di tempo, è pari al prodotto dell'intensità di corrente
e della differenza di potenziale ai capi del resistore. Utilizzando la legge
di Ohm, ne risulta che la potenza dissipata è RI2.
Abbiamo discusso alcune applicazioni di questo effetto.
Esercizi
Abbiamo fatto un calcolo di correnti che fluiscono in un circuito,
utilizzando le leggi di Kirchhoff per le maglie e i nodi.
Abbiamo calcolato l'evoluzione nel tempo della corrente in
un circuito in cui si effettua la carica/scarica di un condensatore
(nell'ipotesi che la corrente sia lentamente variabile).
iAbbiamo svolto un esercizio sulla conducibilita' (cilindro
contenente acido solforico con concentrazione non uniforme; calcolo
della resistenza equivalente, dell'intensità di corrente,
della potenza dissipata, ecc.) e un
esercizio sulla scarica di un condensatore in un circuito che contiene
resistenze e condensatori in serie e in parallelo.
Campo magnetico
Studiando il comportamento dei poli magnetici delle calamite, la
disposizione della limatura di ferro su una superficie in presenza di
una calamita, l'orientazione di un ago magnetizzato (bussola), e
fenomeni simili, si arriva ad ipotizzare l'esistenza di un campo
magnetico. Per dare una definizione operativa del campo, tuttavia, le
calamite non bastano, dato che per stabilire una relazione quantitativa
tra proprietà intrinseche delle calamite e campo magnetico
prodotto da queste sarebbero necessari modelli accurati della struttura
della materia. L'ostacolo si supera andando a vedere qual'è
la relazione
tra campi magnetici e cariche elettriche in moto. I primi esperimenti
cruciali in questa direzione sono gli esperimenti di Oersted (ago
magnetico che si orienta in vicinanza di fili percorsi da corrente
elettrica) e di Ampère (forze di attrazione e repulsione tra fili
percorsi da corrente). Questi esperimenti mostrano che cariche
in moto producono campi magnetici e risentono di campi magnetici.
Forza di Lorentz
A partire dagli esperimenti si può definire operativamente
il campo magnetico tramite la forza subita da una carica elettrica q
in moto a velocità v. In assenza di campi elettrici
la forza può essere scritta come qv X B. In
presenza anche di un campo elettrico, invece, la forza sulla
carica è F= q( E + v X B). Questa
è nota come forza di Lorentz.
Unità di misura
Per come è definito, il campo magnetico è
dimensionalmente equivalente a una forza divisa per una carica
e una velocità. Usando per queste quantità le
unità del sistema internazionale SI si ottiene una
nuova unità chiamata tesla (T). Nello stesso sistema
internazionale si può esprimere il flusso di campo
magnetico in weber (Wb) e il campo in Wb/m2, che
è uguale al tesla. Abbiamo visto anche come si scrive
la forza di Lorentz nel sistema di Gauss dove l'unità
di misura si chiama proprio gauss (G). Abbiamo anche visto
che un tesla equivale a 10000 gauss.
Il campo prodotto da un filo rettilineo e legge di Ampère
Abbiamo parlato della misura di Biot e Savart del campo magnetico
prodotto da un filo rettilineo percorso da corrente. Le linee
di forza del campo sono cerchi concentrici, nel piano ortogonale
al filo. L'intensità del campo è proporzionale alla
corrente che passa e inversamente proporzionale alla distanza.
La legge di Biot-Savart gioca in magnetostatica un ruolo simile
a quello giocato dalla legge di Coulomb in elettrostatica. In
quel caso avevamo visto che si poteva formulare il problema
in modo equivalente con la legge di Gauss per il flusso del campo
elettrico, essendo peraltro applicabile anche il principio di
sovrapposizione. Nel caso del campo magnetico conviene considerare
invece la circuitazione del campo lungo un percorso chiuso.
Nel caso di un filo rettilineo, a partire dalla legge di Biot-Savart,
si può dimostrare che la circuitazione di B è
il prodotto tra una costante mu_0, detta
permeabilità magnetica del vuoto, e la corrente
che scorre nel filo, qualora il percorso scelto compia un
giro completo attorno al filo; se il percorso non racchiude (non
è "concatenato" al filo) la circuitazione è nulla.
Questo risultato non dipende dalla forma del percorso scelto.
Più in generale, la regola vale anche per fili di
corrente non rettilinei e per più fili (principio
di sovrapposizione). La circuitazione di B lungo un
percorso chiuso qualunque è uguale alla mu_0 volte la
somma delle correnti concatenate al percorso. Questa è
nota come legge di Ampère.
Legge di Ampère in forma locale
In magnetostatica la legge di Ampè ha un ruolo analogo a quello
della legge di Gauss in elettrostatica. Come in quel caso era possibile
scrivere la legge di Gauss in forma locale, anche qui si può
trovare la versione locale della legge di Ampère. Basta ricorrere
alla definizione di densità di corrente elettrica e alla legge di
Stokes per il rotore di un campo vettoriale generico. Il risultato è
che il rotore del campo B è uguale a mu_0 volte la
densità di corrente. La presentazione della teoria può
essere ribaltata, assumendo come nuovo principio la legge di Ampè
in forma locale e mostrando, tra l'altro, che la legge di Biot-Savart
per il campo prodotto da un filo di corrente rettilineo è una
conseguenza della legge di Ampè, assumendo la simmetria assiale
del problema. Valeva qualcosa un discorso simile per la legge di Gauss e
la legge di Coulomb.
La divergenza di B e la non esistenza del monopolo magnetico
Abbiamo calcolato il flusso del campo B prodotto da un filo
rettilineo di corrente attraverso una qualsiasi superficie chiusa,
trovando che questo è sempre nullo. Usando il teorema di
Gauss, ne segue che la divergenza di B è nulla ovunque.
Possiamo generalizzare, assumendo come principio che la divergenza
di B è nulla ovunque, per qualsiasi B. Abbiamo
così due leggi, una per il rotore e l'altra per la divergenza,
del campo magnetico, che ci permettono di calcolare univocamente il
campo, assegnata la densitaà di corrente e assegnate le condizioni
al contorno. Il fatto che la divergenza di B sia nulla
esprime l'osservazione empirica che non esiste il monopolo magnetico,
cioè un punto dal quale divergono, o sul qualche convergono,
le linee di forza del campo.
Forza esercitata da un campo magnetico su un filo percorso da
corrente
Dato un campo magnetico statico, prodotto da certe sorgenti generiche,
in cui sia immerso un filo conduttore percorso da corrente, i portatori
di carica nel conduttore sono soggetti alla forza di Lorentz
perpendicolare alla velocità di deriva, cioè al
filo stesso. Dato che i portatori rimangono confinati nel filo,
l'effetto della forza di Lorentz è quello di una forza
che agisce sul filo, lateralmente ad esso. Abbiamo calcolato la
forza per unità di lunghezza nel caso di una corrente
I e un campo B uniforme; in modulo essa è data dal prodotto
IB.
Esperimento di Ampère e definizione di ampère
Alla luce delle leggi finora introdotte e descritte, l'esperimento
di Ampère con fili paralleli è facilmente
comprensibile. Se i fili sono percorsi da corrente, un filo
produce un campo magnetico che induce una forza sull'altro filo,
e viceversa. L'effetto è quello di attrazione o repulsione dei
fili a seconda che le due correnti siano concordi o discordi. La
forza per unità di lunghezza è proporzionale al
prodotto delle correnti. Ciò permette anche di usare
dinamometri e campioni di lunghezza per determinare la corrente
che passa in un filo. Dal punto di vista operativo si può
così definire un campione di corrente e un'unità
fondamentale di corrente: una corrente di un ampère (A)
è la corrente che fluisce in due fili paralleli posti
ad una distanza di un metro quando la forza tra loro, per unità
di lunghezza, è pari a 2x10^(-7) N/m. Il valore della forza
è una scelta arbitraria convenzionale. Dalla definizione di
ampère si deriva quella di coulomb: un coulomb è
la carica che passa in un secondo in un filo percorso da una
corrente di un ampère. In questo modo la costante dielettrica
che compare nella legge di Coulomb non è arbitraria, ma
il suo valore è l'esito di misure.
Legge di Biot-Savart per fili di forma qualsiasi
La legge di Biot-Savart per il campo prodotto da un filo di corrente
rettilineo e infinito può essere generalizzata al caso di un filo
curvilineo qualsiasi. Formalmente si può scrivere il contributo
infinitesimo dB dovuto ad un elemento infinitesimo di
filo dl, ottenendo il campo totale B per integrazione
sul percorso della corrente. L'espressione di dB in funzione
della corrente I e della distanza dal filo, è nota anch'essa
come legge di Biot-Savart. Il contenuto sperimentale della legge sta
nel fatto che il campo totale B calcolato in questo modo per
un filo qualsiasi è in accordo con il campo misurato.
Calcolo di B prodotto da spire
Abbiamo visto alcuni esempi di campi magnetici prodotti da correnti.
Abbiamo svolto il calcolo, utilizzando la legge di Biot-Savart, nel
caso del campo al centro di una spira quadrata. Abbiamo fatto poi
un calcolo esplicito per una bobina quadrata con N avvolgimenti.
Abbiamo calcolato il campo magnetico prodotto da una spira circolare,
sia al centro della spira che lungo l'asse. Abbiamo tracciato
qualitativamente il campo in tutto lo spazio e discusso l'andamento
asintotico sull'asse. Tramite l'analogia con il campo
elettrico di un dipolo elettrico, abbiamo defiito un momento
di dipolo magnetico e abbiamo visto che i campi asintotici
hanno strutture simili.
Calcolo di B prodotto da un solenoide
Abbiamo calcolato il campo magnetico al centro di un
solenoide di lunghezza L.
Abbiamo anche visto che un solenoide di lunghezza infinita
produce un campo magnetico diverso da zero solo all'interno
del solenoide stesso, dove è uniforme, proporzionale alla
corrente nelle spire e al numero di spire per unità di
lunghezza. La discontinuità del campo magnetico sulla
superficie del solenoide è facilmente calcolabile con
la legge di Ampère per la circuitazione di B.
Solenoide, magneti, terra
Abbiamo disegnato qualitativamente le linee di forza del campo
magnetico prodotto da un solenoide, un magnete e la terra,
discutendo le analogie. Nel caso del campo magnetico terrestre
si può ragionevolmente ipotizzare l'esistenza di correnti
di cariche elettriche, associate a correnti di massa all'interno
della terra stessa. Le correnti di massa sono effetto della
ridistribuzione di materia indotta dalla gravità (gli
elementi più pesanti, metallici, scendono verso il
nucleo) e sono influenzate dalla rotazione della terra attorno
al suo asse. Abbiamo parlato anche della forma del campo
magnetico terrestre a grandi distanze, la sua interazione
con il vento solare, le aurore boreali e le fasce di
Van Allen.
Nel caso dei magneti è più
difficile proporre un modello classico, ma è plausibile
che vi siano correnti su scala microscopica, il cui effetto
complessivo è equivalente a quello di una corrente
macroscopica superficiale, analoga alle spire di un solenoide.
Su questi modelli torneremo più avanti.
Cariche in moto in un campo magnetico
Abbiamo visto come si possono separare particelle con diverso
rapporto carica/massa usando dapprima un campo elettrico per
accelerare e collimare un fascio di particelle e poi un
campo magnetico uniforme per immetterle su traiettorie
circolari, il cui raggio di curvatura dipende, appunto, dal
rapporto carica/massa. Abbiamo visto un esempio concreto
con protoni e deutoni.
Cariche in moto in un campo magnetico
Abbiamo definito la frequenza di ciclotrone e abbiamo parlato
di acceleratori lineari e circolari di particelle cariche.
Effetto Hall
Nel caso di una lamina metallica percorsa da corrente
elettrica e posta in un campo magnetico uniforme e ortogonale,
abbiamo visto che i portatori di carica sono soggetti ad
una forza laterale. In regime di corrente stazionaria questa
sarà bilanciata da un potenziale elettrico trasverso.
Abbiamo calcolato tale potenziale trasverso in funzione
della densità e la carica dei portatori, la corrente
che fluisce nella lamina e il campo magnetico esterno.
Il potenziale vettore
Abbiamo riassunto le leggi dell'elettrostatica e della
magnetostatica, per la divergenza e il rotore del campo
elettrostatico e del campo magnetostatico. Nel caso elettrostatico
poteva essere introdotta una funzione scalare, potenziale
elettrico, avente un ben preciso significato fisico, utile
alla soluzione di un problema generico: data una distribuzione
di cariche trovare il potenziale e, da questo, il campo elettrico.
Una procedura analoga può essere seguita per il campo
magnetico, salvo che il punto di partenza non
può essere l'irrotazionalità del campo, dato
che B non è irrotazionale. Il punto di partenza stavolta
è il fatto che la divergenza di B è sempre
nulla. Questo permette di scrivere B come il rotore di
un nuovo campo vettoriale A, detto potenziale vettore.
L'equazione per il rotore di B si traduce in tre equazioni
di Poisson per le componenti di A, con la la densità
di corrente al posto della densità di carica e la
permeabilità magnetica al posto dell'inverso della
costante dielettrica, a patto di fare una particolare scelta
di gauge: si scegli A tale che la sua divergenza sia
nulla ovunque. Abbiamo discusso il significato formale della
scelta di gauge e l'utilità del potenziale
vettore A, facendo il confronto con il caso del potenziale
elettrico scalare.
Potenziale vettore
Calcolo del potenziale vettore
associato ad un filo rettilineo infinito percorso da corrente. Il
risultato è facilmente ottenibile per analogia con il
calcolo del potenziale elettrico associato ad un filo uniformemente
carico (stessa equazione, stessa geometria, stesse condizioni al
contorno). Si ritrova la legge di Biot-Savart.
Sviluppo multipolare del potenziale vettore associato ad una
spira di corrente di forma qualsiasi, che occupa una regione limitata
di spazio. Il potenziale asintotico, a grandi distanze dalla spira,
risulta essere la somma di un termine dipolare, quadrupolare, ecc.,
mentre il termine di monopolo è sempre nullo. Anche in
questo caso si può discutere l'analogia con lo
sviluppo multipolare del potenziale elettrico.
Esperimenti di Faraday e correnti indotte
Due bobine avvolte sullo stesso rocchetto, una collegata ad un generatore
di differenza di potenziale, l'altra ad un galvanometro. Se la corrente
nel primo circuito varia nel tempo, si verifica un'induzione di corrente
nel secondo. Lo stesso succede se le due bobine sono avvolte attorno
ad un materiale ferromagnetico. E' la variazione del campo magnetico
prodotto da una bobina a indurre la corrente nella seconda. Altro
esempio: calamita che si muove in prossimità di una spira conduttrice,
o spira conduttrice che si muove in prossimità della calamita.
C'è
corrente indotta nella spira se c'è una variazione del flusso del campo
magnetico attraverso la superficie avente la spira come contorno.
La variazione del flusso (e la corrente indotta di conseguenza) può
essere ottenuta anche ruotando la spira in un campo magnetico uniforme.
Forza elettromotrice e legge di Lenz
Abbiamo definito la forza elettromotrice. Gli esperimenti con le
correnti indotte sono tutti riassumibili dicendo che la forza
elettromotrice indotta su un circuito è uguale a meno la
derivata del flusso di B attraverso una qualsiasi superficie
avente quel circuito come contorno.
Conduttori in moto in campi magnetici
Abbiamo esaminato il caso di una spira quadrata che viene trascinata a
velocità costante perpendicolarmente ad un campo magnetico.
Applicando la componente magnetica della forza di Lorentz,
q vXB, ai portatori di carica nei quattro lati della
spira, si ottiene una forza elettromotrice non nulla quando B varia
nella direzione del moto. La forza elettromotrice così
calcolata soddisfa la legge di Lenz per la variazione del
flusso di B. Inoltre, calcolando la potenza dissipata nella
spira dall'effetto Joule, si vede che questa è uguale al
lavoro svolto nell'unità di tempo dalle forze (meccaniche)
esterne che trascinano la spira a velocità costante,
opponendosi alla forza che il campo B esercita sui lati
della spira percorsa dalla corrente indotta.
Spira che ruota in un campo magnetico
Una spira quadrata che ruota in un campo magnetico uniforme è
soggetta ad una forza elettromotrice periodica nel tempo. Abbiamo
fatto il calcolo della forza elettromotrice usando il contributo
magnetico alla forza di Lorentz che agisce sulle cariche di conduzione
nei vari tratti della spira durante la rotazione e abbiamo visto
che la forza elettromotrice è in accordo con la legge di Lenz.
Abbiamo parlato delle innumerevoli applicazioni di questo tipo
di induzione in bobine rotanti (dinamo, turbine, trasformazione
di energia meccanica in energia elettrica, ecc.).
Spire ferme in campi magnetici variabili
Nei casi precedenti il moto dei conduttori
permetteva di assegnare una velocità non nulla alle cariche
libere e, di conseguenza, ottenere una forza di Lorentz magnetica
non nulla e tale da indurre una forza elettromotrice consistente
con la legge di Lenz. La cosa non funziona se i conduttori sono
fermi nel sistema di riferimento in cui si fanno le misure. Gli
esperimenti ci dicono che si ottiene ancora una forza elettromotrice
quando il flusso del campo magnetico varia nel tempo. Dato che
il campo magnetico non può indurre accelerazione in
cariche ferme, se si vuole continuare a credere nella forza di
Lorentz come definizione operativa dei campi elettrico e
magnetico allora si deve concludere che la forza elettromotrice
osservata è dovuta ad un campo elettrico. Abbiamo visto come
tale campo sia necessariamente rotazionale, a differenza di quello
elettrostatico irrotazionale. Per rendere conto della legge di
Lenz, è necessario assumere che il rotore di E sia
uguale a meno la derivata temporale di B. Questa
legge si traduce nella condizione di irrotazionalità del
campo nel caso statico, in cui i campi non dipendono dal tempo.
La nuova legge per i rotore del campo elettrico è nota
come legge di Faraday.
La legge di Ampère-Maxwell
Abbiamo scritto le 4 leggi note per il rotore e la divergenza dei
due campi E e B. Manca qualcosa. Nel vuoto,
in assenza di carihe e correnti, le due equazioni per il
rotore di E e di B sono visibilmente asimmetriche.
Si sarebbe indotti ad aggiungere alla legge di Ampère
per il rotore di B un nuovo termine proporzionale alla
derivata rispetto al tempo del campo elettrico. Tale aggiunta
è giustificata a maggior ragione da una evidente
inconsistenza tra l'equazione di Ampère e la
conservazione dellacarica, espressa dalla legge di continuità
Seguendo il ragionamento di Maxwell, abbiamo visto che l'inconsistenza
svanisce se si aggiunge alla densita' di corrente di carica j
nell'equazione di Ampère una "corrente" aggiuntiva,
pari a epsilon_0 volte la derivata nel tempo del campo
elettrico. Maxwell chiamò questo termine corrente
si spostamento.
Equazioni di Maxwell
Le 4 equazioni per la divergenza e il rotore di E e B,
inclusa la nuova versione della legge di Ampère-Maxwell,
si chiamano equazioni di Maxwell. Assieme alla forza di Lorentz,
che definisce operativamente E e B, alla conservazione
della carica e al principio di sovrapposizione, le equazioni di
Maxwell sono tutto quanto serve per spiegare tutti i fenomeni
dell'elettromagnetismo classico. Abbiamo commentato il ruolo
complementare dell'aspetto teorico-concettuale e degli
esperimenti nella formulazione della teoria.
Corrente di spostamento
Il termine aggiuntivo nell'equazione di Ampère-Maxwell può
essere visto come una corrente aggiuntiva. Non si tratta di una corrente
di cariche vera e propria. Abbiamo visto la forma di questo campo di
corrente di spostamento in due casi: un flusso isotropo di cariche
inizialmente concentrate al centro di una sfera, e la carica di un
condensatore.
Equazione delle onde per E e B nel vuoto
Abbiamo riscritto le equazioni di Maxwell nel vuoto (densità
di carica e densitaà di corrente nulle). Le stesse possono
essere riscritte come due equazioni differenziali disaccoppiate
per i campi E e B. Tali equazioni hanno la forma di
equazioni delle onde. Esse ammettono soluzioni corrispondenti a
campi oscillanti nel tempo e nello spazio. Queste soluzioni sono le
onde elettromagnetiche.
Onde piane monocromatiche e polarizzate
Abbiamo trovato una soluzione particolare delle equazioni di
Maxwell nel vuoto, corrispondente ad un'onda piana monocromatica
(un'unica lunghezza d'onda) con polarizzazione lineare lungo
y (il campo elettrico oscilla rimanendo orientato lungo l'asse y)
che propaga alla velocita' c = 1/sqrt(mu_0 epsilon_0). Il
campo elettrico e il campo magnetico sono perpendicolari tra loro
ed entrambi sono perpendicolari alla direzione di propagazione
dell'onda. L'ampiezza dell'oscillazione del campo elettrico e'
c volte l'ampiezza di oscillazione del campo magnetico.
Onde elettromagnetiche
Altre soluzioni possibili delle equazioni di Maxwell nel vuoto
corrispondono ad onde piane con diversa polarizzazione (lineare
o circolare), oppure onde sferiche. Le onde si propagano sempre
a velocita' c. Se si stima c a partire dalla definizione di
ampere (che fissa convenzionalmente il valore di mu_0) e dal
valore di epsilon_0 misurato tramite la forza di Coulomb, la
velocita' c che si ottiene e' compatibile con le misure sperimentali
della velocita' di propagazione della luce. Questo risultato
non dipende dal sistema di unita' di misura utilizzato per
le grandezze in gioco. Questo ragionamento,
fatto gia' da Maxwell sulla base delle misure dell'epoca, porta
a congetturare che la luce sia essa stessa un tipo di onde
elettromagnetiche (quelle in un certo intervallo di lunghezze
d'onda). Abbiamo commentato sull'importanza delle predizioni
di Maxwell in termini di "unificazione" di concetti fisici:
magnetismo, elettricita', ottica.
Onde elettromagnetiche
Abbiamo discusso brevemente la fenomenologia delle onde
elettromagnetiche.
Equazioni per i potenziali scalare e vettore
Le equazioni di Maxwell complete per i campi elettrico e
magnetico contengono cariche e correnti. Per ottenere una
riformulazione in termini di equazioni disaccoppiate si
puo' ricorrere alla definizione dei potenziali scalare e
vettore, generalizzando quanto fatto in elettrostatica e
in magnetostatica. Dato che la divergenza di B e'
ancora nulla, come nel caso magnetostatico, possiamo
introdurre il potenziale vettore A tale che B
sia il rotore di A. Invece, il campo E non
e' piu' irrotazionale e, quindi, si dovra' modificare la
definizione del potenziale elettrico scalare. Usando
la legge di Faraday abbiamo visto che il nuovo campo
irrotazionale e' dato dalla somma di E e
della derivata di A rispetto al tempo. Abbiamo
definito il nuovo potenziale scalare quello il cui gradiente,
preso con il segno meno, coincide con questo campo
irrotazionale. Poi abbiamo riscritto la legge di Gauss
e la legge di Ampere-Maxwell con queste definizioni di
potenziale scalare e vettore. Se si fa un'opportuna scelta
di gauge (gauge di Lorentz) le due equazioni che si
ottengono sono disaccoppiate: quella per il potenziale
scalare contiene la densita' di carica rho, mentre quella
per il potenziale vettore contiene la densita' di corrente
j. Le due equazioni differenziali, assieme alle due
definizioni dei potenziali in termini dei campi E
e B, sono equivalento alle 4 equazioni di Maxwell.
Il vantaggio e' che e' piu' facile trovare le soluzioni
delle equazioni per i potenziali. Per una distribuzione di
cariche e di correnti in una regione limitata dello
spazio, assumendo nulli i potenziali all'infinito, la
soluzione gnerale per i potenziali puo' essere scritta
in forma esplicita, come integrali sulla distribuzione
di cariche e correnti. In tali integrali, simili al
caso elettrostatico e magnetostatico, appare pero' un
effetto di "ritardo": ad una distanza r, la variazione
di rho e j e' sentita con un ritardo pari a r/c. Si
parla allora di "potenziali ritardati".
Mutua induzione
Abbiamo considerato le correnti indotte nel caso di
due circuiti vicini. Abbiamo definito il coefficiente
di mutua induzione.
Mutua induzione
Coefficiente di mutua induzione per due circuiti accoppiati.
Esempio di mutua induzione tra due spire circolari complanari.
Perché e quando si possono ignorare i potenziali
ritardati ed utilizzare l'elettrostatica e la magnetostatica.
Il teorema di reciprocità per la mutua induzione.
Autoinduzione, induttanza
Coefficiente di auto-induzione (induttanza)
di un circuito e definizione di henry (H). Calcolo dell'induttanza
di un solenoide. Accensione e spegnimento
di corrente in un circuito con elementi induttivi.
Energia dei campi
Abbiamo confrontato la scarica di un condensatore in un
circuito RC e lo spegnimento della corrente in un circuito
RL. In un caso l'energia dissipata dalla resistenza
per effetto Joule è pari all'energia inizialmente
associata al campo elettrico all'interno del condensatore.
Nell'altro caso invece è l'energia inizialmente
associata al campo magnetico nell'induttanza. Abbiamo
definito una densità di energia del campo elettrico
e del campo magnetico consistente con i risultati per i due
circuiti e abbiamo assunto che tale densità di
energia abbia la stessa forma nel caso generale, per campi
elettrici e magnetici qualsiasi in un punto generico
dello spazio.
Circuiti oscillanti e risonanti
Abbiamo discusso i circuiti LC e RLC serie, in termini di
conservazione/dissipazione di energia. Abbiamo visto cosa si
intende per circuito oscillante e per circuito risonante,
discutendo l'analogia con un oscillatore meccanico (massa -- induttanza,
costante elastica -- capacità, coefficiente d'attrito
viscoso -- resistenza, ecc.).
Esercizi
Tipico valore di induttanza per un solenoide.
Mutua induzione di due solenoidi.
Trasformatore.
Esercizi
Mutua induzione per una spira in prossimità di un filo
percorso da corrente alternata. Potenza dissipata. Commento sulle
correnti parassite in materiali conduttori.
Solenoide toroidale a sezione rettangolare. Calcolo dell'induttanza.
Induttanza di un cavo coassiale.
Asta conduttrice in rotazione attorno ad un asse in presenza di
un campo magnetico uniforme.
Esercizi
Esercizi in preparazione dell'esame.
Esercizi
Esercizi in preparazione dell'esame.
Energia di una spira percorsa da corrente immersa in un
campo magnetico uniforme.
Vettore di Poynting
Calcolo del bilancio energetico di un volume V con cariche e campi.
Definizione del vettore di Poynting. Vettore di Poynting nel caso
di onde elettromagnetiche piane.
Magnetismo nella materia
Momento magnetico di una spira di corrente. Analogie con il
momento di dipolo elettrico. Sostanze magnetiche: diamagneti,
paramagneti, ferromagneti. Fenomenologia. Modello della materia
in termini di momenti magnetici su scala microscopica.
Densita' di magnetizzazione. Corrente di magnetizzazione.
Equivalenza tra un cilindro magnetizzato e un solenoide.
Analogie con la polarizzazione elettrica dei dielettrici.
Legge di Ampere-Maxwell nella materia. Definizione del campo H legato
alle correnti di cariche libere. Analogia con il vettore D dei
dielettrici. Equazioni di Maxwell nella materia. Permeabilita'
magnetica relativa. Relazione tra B e H.
Magnetismo nella materia
Modello classico per il momento magnetico di un atomo.
Forza subita da una sostanza magnetica in un campo magnetico
non uniforme. Ciclo di isteresi per una
sostanza ferromagnetica. Domini magnetici e meccanismi di
magnetizzazione.
Esercizi
Esercizi in preparazione all'esame. Sintesi del corso.