Urti contro una particella ferma nel sistema di laboratorio

Sistema di laboratorio	Sistema del centro di massa
Prima dell'urto $$\vec{v}_{CM} = \frac{m_1}{M} \vec{v}_1$$	Prima dell'urto $$\vec{u}_1 = \frac{m_2}{M}\vec{v}_1 \quad\quad \vec{u}_2 = - \frac{m_1}{M}\vec{v}_1 = -\vec{v}_{CM}$$
Dopo l'urto	Dopo l'urto $$\vec{v}_1 = \vec{v}_{CM} + \vec{u}_1 \quad\quad\quad \vec{v'}_1 = \vec{v}_{CM} + \vec{u'}_1$$ $$0 = \vec{v}_{CM} + \vec{u}_2 \quad\quad\quad \vec{v'}_2 = \vec{v}_{CM} + \vec{u'}_2$$

L'angolo di scattering $\Phi$ nel centro di massa non ha limitazioni mentre gli angoli $\theta_1$ e $\theta_2$ nel sistema di laboratorio subiscono restrizioni a causa delle leggi di conservazione. Consideriamo il diagramma relativo all'urto nel centro di massa:

$$\tan\theta_1 = \frac{u'_1\sin\Phi}{v_{CM}+u'_1\cos\Phi}$$

Poichè l'urto è elastico $u'_1=u_1$ quindi, dividendo per $u_1$ otteniamo:

$$\tan\theta_1 = \frac{\sin\Phi}{\frac{v_{CM}}{u_1}+ \cos\Phi}$$

Considerando che $u_1=\frac{m_2}{M}v_1$ e che $v_{CM}=\frac{m_1}{M}v_1$ si ha:

$$\frac{v_{CM}}{u_1} = \frac{m_1}{m_2}$$

da cui:

$$\tan\theta_1 = \frac{\sin\Phi}{\frac{m_1}{m_2}+\cos\Phi}$$

$\Phi$ ovviamente dipende dai dettagli dell'interazione e, in linea di principio può assumere qualsiasi valore. $\theta_1$ invece a seconda del rapporto $\frac{m_1}{m_2}$ può o non può avere delle limitazioni.

Se $m_1 < m_2$, cioè $v_{CM} < u_1$, $\theta_1$ non ha limitazioni, perchè il denominatore della frazione si può annullare. Se $m_1 \ll m_2$ allora $\tan\theta_1 \simeq \tan\Phi$, ovvero $\theta_1 \simeq \Phi$. Il secondo corpo risente in questo caso molto poco dell'interazione. $m_2$ si comporta essenzialmente come un centro di scattering fisso.

Se $m_1 > m_2$, cioè $v_{CM} > u_1$, il denominatore non si può annullare e $\theta_1$ ha un valore massimo $\theta_{MAX}$, che si trova facilmente derivando ed imponendo la derivata uguale a zero:

$$1 + \frac{m_1}{m_2} \cos\Phi = 0 \quad\quad \Rightarrow \q... ...uad \Rightarrow \quad\quad \sin\theta_{MAX} = \frac{m_2}{m_1}$$

Se $m_1 \gg m_2$ allora $\theta_{MAX}\simeq 0$. Fisicamente ciò significa che una particella leggera non può deviare significativamente una particella molto più massiva.

Vi è poi il caso particolare $m_1 = m_2$

$$\tan\theta_1 = \frac{\sin\Phi}{\frac{m_1}{m_2}+\cos\Phi} =... ... \quad\quad \Rightarrow \quad\quad \theta_1 = \frac{\Phi}{2}$$

L'angolo di scattering di laboratorio è la metà dell'angolo di scattering dal centro di massa. Poichè il valor massimo di $\Phi$ è di $180^\circ$ allora se $m_1 = m_2$ l'angolo massimo di scattering nel sistema di laboratorio non può essere altro che di $90^\circ$.

Vediamo ora cosa si può dire su $\theta_2$. Dal diagramma per il moto nel riferimento del centro di massa vediamo subito che:

$$\left\{ \begin{array}{l} {u'}_2\sin\Phi = {v'}_2\sin\theta... ...}_2\cos\theta_2 = v_{CM} - {u'}_2\cos\Phi \end{array} \right.$$

Procedendo in modo analogo a prima si ricava:

$$\tan\theta_2 = \frac{{u'}_2\sin\Phi}{v_{CM}-{u'}_2\cos\Phi} = \frac{\sin\Phi}{\frac{v_{CM}}{{u'}_2}-\cos\Phi}$$

Nel caso del secondo corpo la semplificazione è ora ancora più banale perchè ${u'}_2=u_2=v_{CM}$, per cui, dividendo per $u_2$:

$$\tan\theta_2 = \frac{\sin\Phi}{1-\cos\Phi} = \cot \frac{\Ph... ...d\quad \Rightarrow \quad\quad \theta_2 = \frac{\pi - \Phi}{2}$$

Se $m_1=m_2=m$ sappiamo già che:

$$\theta_1 = \frac{\Phi}{2} \quad\quad \Rightarrow \quad\quad \theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{2}$$

Infine presentiamo le espressioni di ${v'}_1$ e ${v'}_2$ in funzione di $v_1$ e di $\Phi$.

$$\left\{ \begin{array}{lll} v'_1 & = & \frac{v_1}{M}\sqrt{ ... ...& = & \frac{2m_1}{M}v_1\sin\frac{\Phi}{2} \end{array} \right.$$