Leggi di conservazione negli urti

Abbiamo già detto che nei problemi d'urto vale la conservazione della quantità di moto del sistema, quindi anche la velocità $\vec{v}_{CM}$ del centro di massa è costante, così come la cosiddetta ``energia cinetica del centro di massa'':

$$\vec{p}_{CM} = \textrm{cost.} \quad\quad \Rightarrow \quad... ...rrow \quad\quad E_{CM}=\frac{1}{2} Mv^2_{CM} = \textrm{cost.}$$

L'energia del centro di massa non viene dunque modificata dall'urto ma le quantità $E^*$ (energia del sistema vista nel riferimento del centro di massa) ed $E_K = E_{CM} + E^*$ (energia cinetica totale del sistema nel riferimento del laboratorio) possono variare. Gli urti vengono classificati in base alla variazione di $E^*$: un urto è elastico se $E^*$ è costante, anelastico in caso contrario. L'urto si dice infine perfettamente anelastico se $E_f^*=0$; in questo caso l'energia del moto relativo va perduta nell'urto ed entrambi i corpi si muovono assieme, con la velocità $\vec{v}_{CM}$ del centro di massa.

Poichè in tutti gli urti l'energia del centro di massa $E_{CM}$ rimane costante, la trattazione matematica del processo d'urto è più conveniente nel sistema di riferimento solidale con il centro di massa. Questo riferimento viene chiamato riferimento del centro di massa. Il riferimento del centro di massa torna utile per i calcoli, ma quello nel quale vengono effettivamente svolti gli esperimenti è il riferimento del laboratorio. Generalmente la particella bersaglio è ferma nel riferimento del laboratorio. Indicheremo con i pedici ${}_1$ e ${}_2$ i due corpi coinvolti nell'urto; poniamo ora qualche convenzione per la notazione (se si aggiunge un apice ${}'$ si intende che la quantità è considerata dopo l'urto):

Quantità	Riferimento del laboratorio	Riferimento del centro di massa
Quantità di moto	$\vec{p}_1$, $\vec{p}_2$ e $\vec{P} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2$	$\vec{q}_1$ e $\vec{q}_2$ e $\vec{Q} = \vec{q}_1 + \vec{q}_2 = 0$
Velocità	$\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$ e $\vec{V} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$	$\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$ e $\vec{U} = \vec{u}_1 + \vec{u}_2$
Velocità del centro di massa	$\vec{v}_{CM}$
Masse	$m_1$, $m_2$ ed $M=m_1+m_2$	invarianti
Energie	$E_K$ ed $E_{CM}$	$E^*$

Con queste convenzioni l'energia $E^*$ si scrive:

$$E^* = \frac{1}{2} m_1u^2_1 + \frac{1}{2} m_2u^2_2$$

Per passare dal riferimento del laboratorio al riferimento del centro di massa saranno utili le seguenti formule:

$$\left\{ \begin{array}{l} \vec{u}_1 = \vec{v}_1 - \vec{v}_{... ... - (\vec{v}_1 - \vec{v}_2) \frac{m_1}{M} \end{array} \right.$$

Nel caso tipico $\vec{v}_2 = 0$, ovvero quando il bersaglio è fermo nel riferimento del laboratorio, le formule precedenti si semplificano in:

$$\left\{ \begin{array}{l} \vec{u}_1 = \vec{v}_1 \frac{m_2}{... ...\ \vec{u}_2 = - \vec{v}_1 \frac{m_1}{M} \end{array} \right.$$

Naturalmente nel riferimento del centro di massa la quantità di moto complessiva è nulla, per cui $\vec{Q} = \vec{q}_1 + \vec{q}_2$ è identicamente nullo.