Urti unidimensionali elastici

Consideriamo il caso di un urto perfettamente elastico ed unidimensionale, ovvero due particelle di massa $m_1$ ed $m_2$, con velocità $v_1$ e $v_2$ prima dell'urto e ${v'}_1$ e ${v'}_2$ dopo, nel riferimento del laboratorio. La conservazione della quantità di moto e dell'energia cinetica implicano:

$$\left\{ \begin{array}{l} m_1v_1 + m_2v_2 = m_1{v'}_1 + m_2... ...1}{2}m_1{v'}^2_1 + \frac{1}{2}m_2{v'}^2_2 \end{array} \right.$$

Sviluppando il sistema e sostituendo la differenza di due quadrati con la formula $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$, otteniamo:

$$\left\{ \begin{array}{l} m_1(v_1 - {v'}_1) = - m_2(v_2 - {... ...'}_1) = - m_2(v_2 - {v'}_2)(v_2 + {v'}_2) \end{array} \right.$$ (1)

Semplificando nella seconda relazione le quantità che sono uguali secondo la prima relazione, otteniamo quindi che:

$$v_1 + {v'}_1 = v_2 + {v'}_2 \quad\quad \Rightarrow \quad\quad {v'}_2 = v_1 - v_2 + {v'}_1$$ (2)

Utilizzando la 2 possiamo ridurci ad una sola variabile, eliminando ${v'}_2$, per esempio nella prima relazione di 1:

$$m_1 ( v_1 - {v'}_1 ) = - m_2 ( v_2 - v_1 + v_2 - {v'}_1 )$$

$$\Rightarrow (m_1 - m_2)v_1 + 2m_2v_2 = (m_1 + m_2){v'}_1$$

$$\Rightarrow {v'}_1 = \frac{m_1 - m_2}{M}v_1 + \frac{2m_2}{M}v_2$$

Utilizzando poi la relazione 2 otteniamo con passaggi simili anche l'espressione di ${v'}_2$. Riassumendo i risultati:

$${v'}_1 = \frac{m_1 - m_2}{M}v_1 + \frac{2m_2}{M}v_2 \quad\quad {v'}_2 = \frac{2m_1}{M}v_1 + \frac{m_2 - m_1}{M}v_2$$

Esaminiamo ora alcuni casi particolari derivanti dalle equazioni precedenti. Quando le masse sono uguali i termini $m_1-m_2$ sono nulli e $\frac{2m_1}{M}=\frac{2m_2}{M}=1$, per cui le velocità delle particelle si scambiano. Nel caso poi che $v_2 = 0$, la prima particella si ferma e la seconda parte con velocità uguale alla prima:

$$m_1 = m_2 \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} {v'}_1 = v_2 \\ {v'}_2 = v_1 \end{array} \right.$$

Se le masse sono diverse e $v_2 = 0$ allora rimangono solo i termini proporzionali a $v_1$:

$$m_1 \ne m_2 \quad \textrm{e} \quad\quad v_2 = 0 \quad \Rig... ...}{M} v_1 \\ {v'}_2 = \frac{2m_1}{M} v_1 \end{array} \right.$$

Se la massa del primo corpo è molto maggiore di quella del secondo corpo, $M \sim m_1 \gg m_2$, allora ${v'}_1 \simeq v_1$ e ${v'}_2 \simeq 2v_1$. Se siamo nel limite opposto, $m_1 \ll m_2 \sim M$, allora ${v'}_1 \simeq - v_1$ e ${v'}_2 \ll v_1$.

Vediamo un'applicazione di queste conclusioni. Nei reattori nucleari i neutroni prodotti dalla fissione si muovono molto velocemente; affinchè possano produrre altre fissioni occorre rallentarli. Nell'ipotesi che i neutroni urtino elasticamente contro i nuclei fermi, i materiali più adatti per rallentarli sono atomi leggeri di massa vicina a quella del neutrone stesso. Quindi, sulla base della conservazione della quantità di moto, i moderatori per neutroni dovrebbero essere costituiti da atomi leggeri.