Riferimento del centro di massa

Le relazioni precedenti per le velocità dei corpi dopo l'urto sono molto più intuitive se viste nel riferimento del centro di massa. Per definizione lì abbiamo:

$$Q = q_1 + q_2 = m_1 u_1 + m_2 u_2 = 0 \quad\quad \Rightarrow \quad\quad q_1 = - q_2$$

la stessa relazione vale per ${q'}_1$ e ${q'}_2$ dopo l'urto. L'energia cinetica calcolata nel centro di massa sarà $E^* = \frac{1}{2}m_1u^2_1 + \frac{1}{2}m_2u^2_2$. Poichè $q_1 = - q_2$ significa $u_2 = -\frac{m_1}{m_2}u_1$, possiamo scrivere:

$$E^* = \frac{1}{2}m_1u^2_1 \left( 1 + \frac{m_1}{m_2} \right)$$

Analogamente, dopo l'urto:

$${E'}^* = \frac{1}{2}m_1{u'}^2_1 \left( 1 + \frac{m_1}{m_2} \right)$$

Eguagliando l'energia cinetica prima e dopo l'urto (siamo nel caso perfettamente elastico) vediamo immediatamente che vale la relazione $u_1^2 = {u'}^2_1$. Naturalmente questo è vero anche per il secondo corpo, cioè $u^2_2 = {u'}^2_2$. In termini delle quantità di moto questo significa $q_1 = \pm {q'}_1$ e $q_2 = \pm {q'}_2$. Dei due segni, quello positivo corrisponde all'assenza totale di urto, infatti si avrebbe $v_1 = {v'}_1$. Dunque scegliamo le soluzioni $q_2 = - {q'}_2$ e ${q}_1 = -{q'}_1$.

In un urto elastico unidimensionale quindi, nel riferimento del centro di massa, ogni corpo inverte il proprio moto e si allontana con la velocità e l'energia che aveva prima dell'urto.